a) Notons chaque terme pair  et chaque terme impair  . La suite s'écrit donc  On s'aperçoit que le bloc  se répète. Or, la parité de chaque terme dépendant uniquement de la parité de ses 4 précédeurs, ce bloc va se répéter jusqu'à l'infini. Or, il n'y a donc pas moyen de trouver 3 nombres pairs consécutifs dans cette suite, faute de quoi les nombres  n'y vont jamais apparaître dans cet ordre.
b) Notons d'abord que comme chaque terme de la suite dépend uniquement de ses 4 précédents, et qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres à 4 chiffres, la suite va d'office décrire une boucle à partir d'un certain moment.
Soient  et  5 termes consécutifs de cette suite. On sait que
Or, on sait aussi qu'il n'y a pas deux nombres différents dans l'intervalle  qui ne sont pas congrus en modulo 10. Par suite, chaque quadruple de termes ne peut avoir qu'un seul antécédant.
On sait que les nombres vont décrire une boucle totale (i.e. tous les termes vont se répéter) ou partielle (à partir d'un certain moment, une certaine suite de caractères va se répéter). Or, supposons qu'un quadruple se répète sans qu'il décrive la « grande boucle ». À ce quadruple, il ne peut y avoir qu'un seul antécédant. On peut par suite reconstruire la suite non seulement de la gauche vers la droite, mais aussi de la droite vers la gauche, voilà pourquoi il ne peut pas y avoir la boucle partielle. Par suite,  va se répéter. |
