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OMB 2008 Finale MAXI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2008 Finale MAXI Question 1
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Soient le rayon du cercle inscrit, le rayon du cercle circonscrit, le périmètre et la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

(a) Démontrer que





(b) Parmi tous les triangles rectangles, quelle est la plus grande valeur que peut prendre le rapport ? Pour quels triangles rectangles ce maximum est-il atteint ?



Solution(s) proposée(s) :
Solution de Jingran Lin


 
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Anonyme
Posté le : 29/12/2012 13:33  Mis à jour : 29/12/2012
on appelle le triangle ABC qui est rectangle en A, donc p=AB+AC+c , (p/c) + (r/R) =([AB+AC]/c)+1-(r/R) donc il suffira de montrer que AB+AC-2r = c
on pose O le entre du cercle inscrit et H son projeté orthogonal sur BC, H1 son projeté orthogonal sur AB et H2 son projeté orthogonal sur AC, on peut aisément vérifier que A H2 O H1 est un carré de coté r , donc CH=CH2=AC-r et BH=BH1=AB-r , donc CH+BH=c=AB+AC-2r CQFD
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