OMB - OMB 2008 Finale MAXI Question 1

OMB 2008 Finale MAXI Question 1

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Soient $r$ le rayon du cercle inscrit, $R$ le rayon du cercle circonscrit, $p$ le périmètre et $c$ la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

(a) Démontrer que

$\frac{p}{c}-\frac{r}{R}=2.$

(b) Parmi tous les triangles rectangles, quelle est la plus grande valeur que peut prendre le rapport $\displaystyle\frac{r}{R}$ ? Pour quels triangles rectangles ce maximum est-il atteint ?

Solution(s) proposée(s) :
	Solution de Jingran Lin

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Anonyme	Posté le : 29/12/2012 13:33 Mis à jour : 29/12/2012
on appelle le triangle ABC qui est rectangle en A, donc p=AB+AC+c , (p/c) + (r/R) =([AB+AC]/c)+1-(r/R) donc il suffira de montrer que AB+AC-2r = c on pose O le entre du cercle inscrit et H son projeté orthogonal sur BC, H1 son projeté orthogonal sur AB et H2 son projeté orthogonal sur AC, on peut aisément vérifier que A H2 O H1 est un carré de coté r , donc CH=CH2=AC-r et BH=BH1=AB-r , donc CH+BH=c=AB+AC-2r CQFD