OMB - OMB 2006 Finale MAXI Question 4 - Solution de Philippe Schram

OMB 2006 Finale MAXI Question 4 - Solution de Philippe Schram

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Question :

Les réels positifs $x$ , $y$ sont tels que $y=2-x$ .

(a) Quelle est la valeur maximale de $x^2y^2(x^2+y^2)$ ?

(b) Pour quelles valeurs de $(x,y)$ ce maximum est-il atteint ?

(c) Quel est l'ensemble des valeurs de $x^2y^2(x^2+y^2)$ ?

Solution de Philippe Schram :

On s'aperçoit qu'on peut dire $x=1+a$ et $y=1-a$ tout en gardant la condition initiale.

On a donc :

a) $x^2\cdot y^2\cdot (x^2+y^2)$ est maximal $\Leftrightarrow (1-a^2)^2\cdot (2+2a^2)=2\cdot (1-a^2) \cdot (1-a^4)$ est maximal.

Comme $a\in [-1,1]$ (sinon $x$ ou $y$ serait négatif), on s'aperçoit que $1-a^2$ et $1-a^4$ sont maximals si $a=0$ . Comme ils sont positifs, leur produit est maximal ssi $a=0$ et le maximum recherché vaut $2\cdot 1\cdot 1=2$ .

b) Le maximum est atteint en $a=0$ donc ssi $(x,y)=(1,1)$ .

c) La fonction $f(x)=2\cdot (1-a^2)\cdot (1-a^4)$ étant continue et comme $a\in [-1,1]$ la fonction va varier de $0$ à $2$ .

(Comme $|a|\le 1$ , aucun terme ne peut devenir négatif et donc le minimum de la fonction vaut 0)

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