La finale d'une compétition mathématique comporte quatre problèmes. Pour chacun des problèmes les notes possibles sont 0, 1, 2, 3 et 4 points.

Après la compétition, le jury constate que pour n'importe quelle paire de participants, ces deux participants n'ont pas eu le même nombre de points sur plus d'un problème.

Quel est le nombre maximal de participants ?

Tout d'abord, constatons que 6 participants ne peuvent pas tous avoir le même score à une question. En effet, si tel était le cas, deux de ces six participants seraient contraints d'avoir le même score sur une deuxième question, puisque seules 5 valeurs (0, 1, 2, 3, 4) sont possibles.
Ainsi, au maximum 5 participants ont un score identique sur une même question. Ce qui amène un maximum de 25 participants. Voici à présent un exemple d'une répartition adéquate de points pour 25 participants :

0 0 0 3 (Audrey)
0 1 2 2 (Balthazar)
0 2 4 1 (Cédric)
0 3 1 0 (Déborah)
0 4 3 4 (Elisabeth)

2 0 4 2 (François)
2 1 1 1 (Grégoire)
2 2 3 0 (Hughes)
2 3 0 4 (Igor)
2 4 2 3 (Jordan)

4 0 3 1 (Kévin)
4 1 0 0 (Laetitia)
4 2 2 4 (Mélanie)
4 3 4 3 (Nicolas)
4 4 1 2 (Oscar)

1 0 2 0 (Pauline)
1 1 4 4 (Quentin)
1 2 1 3 (Raphaël)
1 3 3 2 (Sarah)
1 4 0 1 (Théodore)

3 0 1 4 (Ursule)
3 1 3 3 (Valentin)
3 2 0 2 (William)
3 3 2 1 (Xavier)
3 4 4 0 (Yolande)

Il y a donc maximum 25 participants.

(Notons tout de même le beau score de Nicolas qui devance Mélanie d'une courte tête ! Ceux-ci méritent tout deux des félicitations.)