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OMB 2004 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre Haas Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2004 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre Haas
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Question :

Dans le triangle , le point appartient à et est tel que . Une droite parallèle à coupe le segment en et coupe la droite en . Le point d'intersection des droites et est .

Démontrer que les angles et ont même amplitude.



Solution de Pierre Haas :


Supposons que la droite recontre le côté du triangle en le point . Le point est le point d'intersection de et . Nous établirons que les triangles et sont semblables.
Du fait que par hypothèse, nous tirons immédiatement que , comme les droites et sont parallèles. Or, nous pouvons affirmer d'une part que



D'autre part, il nous est possible d'affirmer que les relations suivantes sont vérifiées



Comme les droites et sont parallèles, nous sommes à même d'affirmer que les angles et ont même amplitude. Démontrer que les triangles et sont semblables revient dès lors à prouver que les relations suivantes, d'ailleurs équivalentes, sont vérifiées



Or, les droites et étant parallèles, il est immédiat que les relations suivantes sont satisfaites



ce qui établit que les triangles et sont bel et bien semblables. Attendu le parallélisme que nous avons déjà invoqué plusieurs fois, il en découle que les triangles et sont semblables. Dès lors, nous pouvons affirmer que



Or, . Nous en déduisons immédaitement que les angles et ont même amplitude. La droite bissecte donc l'angle , ce qu'il fallait démontrer.



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Nicolas Radu
Posté le : 20/4/2009 18:25  Mis à jour : 20/4/2009
Pour montrer que les triangles sont semblables, c'est-à-dire que , on pouvait dire que :

(triangles et semblables)

(car )



(triangles et semblables)



(car )

Même si ma solution est un peu plus longue, elle permet de ne pas jouer avec des "" .
Je suis pas contre en pleine concordance avec le reste de ta solution .
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