OMB - OMB 2004 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre Haas

OMB 2004 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre Haas

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Question :

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ appartient à $[AC]$ et est tel que $|BD|=|CD|$ . Une droite parallèle à $BD$ coupe le segment $[BC]$ en $E$ et coupe la droite $AB$ en $F$ . Le point d'intersection des droites $AE$ et $BD$ est $G$ .

Démontrer que les angles $\widehat {BCG}$ et $\widehat {BCF}$ ont même amplitude.

Solution de Pierre Haas :

Supposons que la droite $EF$ recontre le côté $[AC]$ du triangle $ABC$ en le point $H$ . Le point $I$ est le point d'intersection de $EF$ et $CG$ . Nous établirons que les triangles $CDG$ et $CHF$ sont semblables.
Du fait que $|BD|=|CD|$ par hypothèse, nous tirons immédiatement que $|CH|=|EH|$ , comme les droites $BD$ et $EF$ sont parallèles. Or, nous pouvons affirmer d'une part que

$\frac{|CD|}{|DG|}=\frac{|BD|}{|DG|}=1+\frac{|BG|}{|DG|}$

D'autre part, il nous est possible d'affirmer que les relations suivantes sont vérifiées

$\frac{|FH|}{|CH|}=\frac{|FH|}{|EH|}=1+\frac{|EF|}{|EH|}$

Comme les droites $BD$ et $EF$ sont parallèles, nous sommes à même d'affirmer que les angles $\widehat{BDC}$ et $\widehat{EHC}$ ont même amplitude. Démontrer que les triangles $CDG$ et $CHF$ sont semblables revient dès lors à prouver que les relations suivantes, d'ailleurs équivalentes, sont vérifiées

$\frac{|BG|}{|DG|}=\frac{|EF|}{|EH|}\Longleftrightarrow\frac{|BG|}{|EF|}=\frac{|DG|}{|EH|}$

Or, les droites $BD$ et $EF$ étant parallèles, il est immédiat que les relations suivantes sont satisfaites

$\frac{|BG|}{|EF|}=\frac{|AG|}{|AE|}=\frac{|DG|}{|EH|}$

ce qui établit que les triangles $CDG$ et $CHF$ sont bel et bien semblables. Attendu le parallélisme que nous avons déjà invoqué plusieurs fois, il en découle que les triangles $CHI$ et $CHF$ sont semblables. Dès lors, nous pouvons affirmer que

$\widehat{FCH}=\widehat{CIH}\Longleftrightarrow \widehat{ECH}+\widehat{FCE}=\widehat{CEH}+\widehat{ECI}$

Or, $\widehat{ECH}=\widehat{CEH}$ . Nous en déduisons immédaitement que les angles $\widehat{ECI}$ et $\widehat{ECF}$ ont même amplitude. La droite $BC$ bissecte donc l'angle $\widehat{FCG}$ , ce qu'il fallait démontrer.

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Nicolas Radu	Posté le : 20/4/2009 18:25 Mis à jour : 20/4/2009
Pour montrer que les triangles sont semblables, c'est-à-dire que $\frac{\|GD\|}{\|CD\|} = \frac{\|CH\|}{\|FH\|}$ , on pouvait dire que : $\frac{\|AH\|}{\|EH\|} = \frac{\|AD\|}{\|GD\|}$ (triangles $AHE$ et $ADG$ semblables) $\Leftrightarrow \frac{\|AH\|}{\|CH\|} = \frac{\|AD\|}{\|GD\|}$ (car $\|CH\| = \|EH\|$ ) $\Leftrightarrow \frac{\|GD\|}{\|CH\|} = \frac{\|AD\|}{\|AH\|}$ $\Leftrightarrow \frac{\|GD\|}{\|CH\|} = \frac{\|BD\|}{\|FH\|}$ (triangles $ADB$ et $AHF$ semblables) $\Leftrightarrow \frac{\|GD\|}{\|BD\|} = \frac{\|CH\|}{\|FH\|}$ $\Leftrightarrow \frac{\|GD\|}{\|CD\|} = \frac{\|CH\|}{\|FH\|}$ (car $\|BD\| = \|CD\|$ ) Même si ma solution est un peu plus longue, elle permet de ne pas jouer avec des " $+1$ " . Je suis pas contre en pleine concordance avec le reste de ta solution .