OMB - OMB 2005 Finale MAXI Question 2 - Solution de Pierre Haas

OMB 2005 Finale MAXI Question 2 - Solution de Pierre Haas

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Question :

Dans l'espace de dimension $3$ , existe-t-il deux points $P$ et $Q$ à coordonnées rationnelles tels que $|PQ|=\sqrt 7$ ?

Solution de Pierre Haas :

Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe des entiers $x$ , $y$ , $z$ , $t$ premiers entre eux vérifiant la propriété suivante : le vecteur $\vec{PQ}$ de norme $\sqrt{7}$ admet pour coordonnées respectives, abscisse, ordonnée et cote, les rationnels $\frac{x}{t}$ , $\frac{y}{t}$ et $\frac{z}{t}$ .

Cette formulation bizarroïde exprime en fait que les rationnels coordonnées du vecteur considéré ont été mis sur leur dénominateur commun. Ceci implique que $x^2+y^2+z^2=7t^2$ , ou qu'il existe des entiers satisfaisant l'équation diophantienne

$x^2+y^2+z^2+t^2=8t^2$

Pour montrer qu'il n'existe pas de points $P$ et $Q$ à coordonnées rationnelles tels que $|PQ|=\sqrt{7}$ dans l'espace de dimension $3$ , nous établirons que la congruence

$x^2+y^2+z^2+t^2\equiv 0\mbox{ mod }8$

n'est pas réalisée pour des entiers $x$ , $y$ , $z$ , $t$ premiers entre eux. En effet, notons que tout carré est congru à $0$ , $1$ ou $4$ modulo $8$ . Le fait que $x$ , $y$ , $z$ et $t$ soient premiers entre eux implique que le carré d'au moins un des quatre entiers est congru à $1$ modulo $8$ (sinon, les quatres nombres seraient divisibles par $2$ , et donc non premier entre eux). Supposons sans perte de généralité que $t^2\equiv 1\mbox{ mod }8$ . Ceci impliquerait immédiatement que

$x^2+y^2+z^2\equiv 7\mbox{ mod }8$

En notant qu'un seul des carrés d'entiers est nécessairement congru à $4$ modulo $8$ et en essayant les $3$ possiblités pour les deux carrés d'entiers restants, nous nous apercevons que cette congruence n'admet pas de solution, ce que nous désirions établir. Par voie de conséquence immédiate, il n'existe pas deux tels points $P$ et $Q$ dans l'espace de dimension $3$ .

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Anonyme	Posté le : 17/8/2009 14:57 Mis à jour : 17/8/2009
Question: quels que soient x1, x2, x3 trois rationnels pris comme coordonnées du point Q. existe t-il quatre entiers tels que: x1=x/t x2=y/t x3=z/t et x,y,z,t soient premier entre eux. ??????????????????

Nicolas Radu	Posté le : 19/8/2009 14:22 Mis à jour : 19/8/2009
Les trois nombres rationnels x1, x2, x3 peuvent s'écrire chacun sous forme de fractions a1/b1, a2/b2, a3/b3. En les réduisant au même dénominateur t on peut les écrire x/t, y/t, z/t. Mais x, y, z, t ne sont alors peut-être pas premiers entre eux. Ils suffit de considérer d le plus grand commun diviseur de x, y, z, t, et de poser X = x/d, Y = y/d, Z = z/d, T = t/d, pour alors obtenir x1 = X/T, x2 = Y/T, x3 = Z/T avec X, Y, Z, T premiers entre eux.