OMB - OMB 2006 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre Haas

OMB 2006 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre Haas

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Question :

Déterminer tous les entiers naturels $k$ et $n$ tels que

(a) $2^k-1=n^2$ .

(b) $3^k-1=n^3$ .

Solution de Pierre Haas :

(a) Il est connu et d'ailleurs immédiat que tout carré parfait est congru à 0 ou 1 modulo $4$ . Mais, pour tout entier $k\geq 2$ , nous pouvons affirmer que $2^k-1\equiv -1\mbox{ mod }4$ . Dès lors, il vient que $k<2$ . Le calcul donne alors les deux solutions uniques $(0,0)$ et $(1,1)$ .

(b) Pour la deuxième partie du problème, notons, au moyen d'une factorisation du terme $n^3+1$ que la condition donnée est en fait équivalente à

$3^k=n^3+1\Longleftrightarrow \big(n+1\big)\big(n^2-n+1\big)=3^k$

Si $n\not=0$ , ceci implique que $\big(n+1\big)$ et $\big(n^2-n+1\big)$ sont des puissances de $3$ . Or, nous avons la relation $n^2-n+1=\big(n+1\big)^2-3\big(n+1\big)+3$ . Par extension, $\big(n+1\big)$ et $\big(n^2-n+1\big)$ sont premiers entre eux si $(n+1)\notin\{1;3\}$ ou encore $n\notin\{0;2\}$ .

Pour $n=0$ et $n=2$ , nous obtenons les deux solutions uniques du problème, à savoir $(0,0)$ et $(2,2)$ .

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Anonyme	Posté le : 17/9/2009 22:39 Mis à jour : 17/9/2009
La solution n'est pas correcte. Au moment de la phrase "Par extension", on pourrait avoir n+1=9 et n^2-n+1=3. Il faut donc aussi regarder les cas ou le deuxieme facteur et 1 ou 3 (ce qui ne donne pas une solution additionnelle).

Pierre Haas	Posté le : 21/9/2009 13:28 Mis à jour : 21/9/2009
En relisant ce que j'ai écrit, il me semble de toute façon beaucoup plus facile de constater que, pour $n>2$ , $\frac{1}{3}(n+1)^2<n^2-n+1<(n+1)^2$ (la première moitié de cette double inégalité s'obtient en résolvant l'équation du deuxième degré qui intervient). Il en résulte que, si $n>2$ et que $n+1$ est une puissance de trois, $n^2-n+1$ ne saurait l'être, l'expression étant comprise (au sens strict) entre deux puissances de trois consécutives. Remarquons cependant que cette condition ne fait pas de sens dans le cas $n=0$ qui doit être traité séparément. Il suffira donc de vérifier les cas $n=0$ et $n=2$ . Pour répondre au commentaire précédent, la formulation à partir de "par extension" n'est en effet pas géniale. On peut y rémédier en notant que, si $n+1=3^m$ (où $m>0$ , le cas $m=0$ méritant attention), $n^2-n+1=3\cdot\left(3^{2m-1}-3^m+1\right)$ et n'est donc pas une puissance de trois, sauf si le facteur $3^{2m-1}-3^m+1$ est trivial, donc si $m=1$ . Pour rectifier le tir, notons que, comme $n^2-n+1>n+1$ pour $n>2$ (à nouveau, le cas $n=0$ mérite attention), la condition que les deux facteurs de $n^3+1$ doivent être des puissances de trois (non triviales pour $n\not=0$ ) implique qu'il faut que le pgcd de $n^2-n+1$ et $n+1$ doit valoir $n+1$ , ce qui sigifie que $n+1=3$ (comme nous avons écarté le cas $n=0$ ) dès le tout début. (En gros, il y avait bien une faute au niveau de la rédaction, mais on peut éviter, comme le montrent les trois possibilités ci-dessus, une analyse des cas plus poussée.)

Anonyme	Posté le : 20/3/2011 20:18 Mis à jour : 20/3/2011
Comment être si sûr que (n+1) et (n²-n+1) sont premiers entre eux si (n+1)est différent de 1 et 3 ?