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OMB 2006 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre Haas Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2006 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre Haas
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Question :

Déterminer tous les entiers naturels et tels que

(a) .

(b) .



Solution de Pierre Haas :


(a) Il est connu et d'ailleurs immédiat que tout carré parfait est congru à 0 ou 1 modulo . Mais, pour tout entier , nous pouvons affirmer que . Dès lors, il vient que . Le calcul donne alors les deux solutions uniques et .


(b) Pour la deuxième partie du problème, notons, au moyen d'une factorisation du terme que la condition donnée est en fait équivalente à




Si , ceci implique que et sont des puissances de . Or, nous avons la relation . Par extension, et sont premiers entre eux si ou encore .

Pour et , nous obtenons les deux solutions uniques du problème, à savoir et .



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Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 17/9/2009 22:39  Mis à jour : 17/9/2009
La solution n'est pas correcte. Au moment de la phrase "Par extension", on pourrait avoir n+1=9 et n^2-n+1=3.

Il faut donc aussi regarder les cas ou le deuxieme facteur et 1 ou 3 (ce qui ne donne pas une solution additionnelle).
Pierre Haas
Posté le : 21/9/2009 13:28  Mis à jour : 21/9/2009
En relisant ce que j'ai écrit, il me semble de toute façon beaucoup plus facile de constater que, pour , (la première moitié de cette double inégalité s'obtient en résolvant l'équation du deuxième degré qui intervient). Il en résulte que, si et que est une puissance de trois, ne saurait l'être, l'expression étant comprise (au sens strict) entre deux puissances de trois consécutives. Remarquons cependant que cette condition ne fait pas de sens dans le cas qui doit être traité séparément. Il suffira donc de vérifier les cas et .

Pour répondre au commentaire précédent, la formulation à partir de "par extension" n'est en effet pas géniale. On peut y rémédier en notant que, si (où , le cas méritant attention), et n'est donc pas une puissance de trois, sauf si le facteur est trivial, donc si .

Pour rectifier le tir, notons que, comme pour (à nouveau, le cas mérite attention), la condition que les deux facteurs de doivent être des puissances de trois (non triviales pour ) implique qu'il faut que le pgcd de et doit valoir , ce qui sigifie que (comme nous avons écarté le cas ) dès le tout début.

(En gros, il y avait bien une faute au niveau de la rédaction, mais on peut éviter, comme le montrent les trois possibilités ci-dessus, une analyse des cas plus poussée.)
Anonyme
Posté le : 20/3/2011 20:18  Mis à jour : 20/3/2011
Comment être si sûr que (n+1) et (n²-n+1) sont premiers entre eux si (n+1)est différent de 1 et 3 ?
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