OMB - OMB 2007 Finale MAXI Question 2 - Solution de Pierre Haas

OMB 2007 Finale MAXI Question 2 - Solution de Pierre Haas

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Question :

Autour d'un cercle, on dispose successivement $n$ chiffres $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ (chacun valant de 0 à 9). Partant de $a_1$ et tournant autour du cercle, on forme le nombre $A_1=\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}$ (dont les chiffres successifs sont $a_1,\,a_2\,,a_3, \dots,a_n$ ) ; partant de $a_2$ et tournant dans le même sens, on forme le nombre $A_2=\overline{a_2a_3a_4\dots a_na_1}$ et ainsi de suite.

La proposition « si $d$ est un diviseur de $A_1$ , alors $d$ est aussi un diviseur de chacun des $A_i$ pour $i\in\{2,3,4,\dots ,n\}$ » est-elle vraie

(a) pour $d=9$ ?

(b) pour $d=27$ et $n=2007$ ?

(c) pour $d=27$ et pour tout $n$ ?

Solution de Pierre Haas :

(a) Rappelons pour la première partie du problème, le critère de divisibilité par $9$ : un nombre est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ . Comme tous les nombres formés sont constitués des mêmes chiffres, seulement pris dans un autre ordre, la somme des chiffres des $A_i$ est un invariant. Dès lors, si $9$ divise $A_1$ , alors $9$ divise chacune des $A_i$ pour $i\in\{2;3;\dots;n\}$ .

(b) Nous montrerons que, pour $n$ multiple de $3$ , donc en particulier pour $n=2007$ , si $27$ est un diviseur de $A_1$ , alors $27$ est aussi un diviseur de chacun des $A_i$ pour $i\in\{2;3;\dots;n\}$ . En effet, il est facile de montrer que $10^{3k}\equiv1\mbox{ mod }27$ . Or, pour $n$ quelconque, nous pouvons affirmer que le $i$ -ème nombre formé lors du parcours cyclique des chiffres disposés autour du cercle, est défini par la relation de récurrence

$A_i=10\cdot A_{i-1}-10^n\cdot a_{i-1}+a_{i-1}=10\cdot A_{i-1}-a_{i-1}\cdot\big(10^n-1\big)$

Comme $A_1$ est par hypothèse divisible par $27$ , nous pouvons affirmer que, pour $n=3k$ ,

$A_2\equiv -a_1\cdot\big(10^{3k}-1\big)\equiv 0\mbox{ mod }27$

Par récurrence, nous pouvons montrer de façon similaire montrer que $27$ est un diviseur de chacun des $A_i$ pour $i\in\{2;3;\dots;n\}$ , ce qu'il fallait établir.

(c) Les résultats de la deuxième partie ne peuvent être généralisés à $n$ quelconque. Le contre-exemple suivant est immédiat. Pour $n=2$ , soit $a_1=2$ et $a_2=7$ . Le nombre $A_1=27$ est bien un multiple de $27$ , mais tel n'est pas le cas pour $A_2=72$ . Cette constatation clôt la résolution du problème.

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