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OMB 2007 Finale MAXI Question 2 - Solution de Pierre Haas Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2007 Finale MAXI Question 2 - Solution de Pierre Haas
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Question :

Autour d'un cercle, on dispose successivement chiffres , , , (chacun valant de 0 à 9). Partant de et tournant autour du cercle, on forme le nombre (dont les chiffres successifs sont ) ; partant de et tournant dans le même sens, on forme le nombre et ainsi de suite.

La proposition « si est un diviseur de , alors est aussi un diviseur de chacun des pour » est-elle vraie

(a) pour ?

(b) pour et ?

(c) pour et pour tout ?



Solution de Pierre Haas :


(a) Rappelons pour la première partie du problème, le critère de divisibilité par : un nombre est divisible par si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par . Comme tous les nombres formés sont constitués des mêmes chiffres, seulement pris dans un autre ordre, la somme des chiffres des est un invariant. Dès lors, si divise , alors divise chacune des pour .


(b) Nous montrerons que, pour multiple de , donc en particulier pour , si est un diviseur de , alors est aussi un diviseur de chacun des pour . En effet, il est facile de montrer que . Or, pour quelconque, nous pouvons affirmer que le -ème nombre formé lors du parcours cyclique des chiffres disposés autour du cercle, est défini par la relation de récurrence




Comme est par hypothèse divisible par , nous pouvons affirmer que, pour ,



Par récurrence, nous pouvons montrer de façon similaire montrer que est un diviseur de chacun des pour , ce qu'il fallait établir.


(c) Les résultats de la deuxième partie ne peuvent être généralisés à quelconque. Le contre-exemple suivant est immédiat. Pour , soit et . Le nombre est bien un multiple de , mais tel n'est pas le cas pour . Cette constatation clôt la résolution du problème.



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