OMB - Epreuves Finales

OMB 2013 Finale MIDI Question 3

(a) Soit $S$ la somme des nombres entiers de 1 à 20 et $S^\prime$ la somme des nombres entiers de 21 à 40. Que vaut $S^\prime-S$ ?

(b) Et que vaut $T^\prime-T$ si $T=1+2+\cdots+2013$ et $T^\prime=2014+2015+\cdots+4026$ ?

(c) Si $N=1+2+\cdots+n$ et $N^\prime=(n+1)+(n+2)+\cdots+2n$ , est-il vrai que $N^\prime-N$ est carré parfait quel que soit le naturel non nul $n$ ?

(d) Soit $k\geq2$ un naturel. Si $N=1+2+\dots+n$ et $N_k=(n+1)+(n+2)+\cdots+kn$ (avec $n$ naturel non nul), établir une formule exprimant $N_k$ en fonction de $N$ , $n$ et $k$ . Est-il vrai que $N_k-N$ est carré parfait quel que soit $n$ ?

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