OMB - Epreuves Finales

OMB 2014 Finale MAXI Question 4

Un nombre-crayon est un « nombre figuré » de la forme suivante :

Par exemple, la figure qui précède montre que $60=\text{nc}(14,5)$ .

Si $n$ est un naturel non nul, une écriture-crayon de $n$ est un couple $(k,l)$ de naturels, avec $k\geq l\geq1$ , tels que $n=\text{nc}(k,l)$ .

Tout naturel non nul $n$ possède au moins une écriture-crayon, puisque $n=\text{nc}(n,1)$ .

(a) Combien d'écritures-crayons possèdent $2$ ? $8$ ? $15$ ?

(b) Combien d'écritures-crayons possède $2014$ ?

(c) Exprimer le nombre d'écritures-crayon d'un naturel non nul en fonction de sa décomposition en facteurs premiers.

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