| OMB 2014 Finale MIDI Question 4 |
Dans une classe de  élèves, l'amitié est symétrique : si  est l'ami de  , alors est l'ami de ; de plus, n'est pas considéré comme un ami de . Est-il toujours vrai que :
(a) Si  , au moins deux élèves ont le même nombre d'amis ?
(b) Le nombre d'élèves ayant un nombre pair d'amis est impair ?
(c) Le nombre d'élèves ayant un nombre impair d'amis est pair ?
(d) Si chaque élève a au moins deux amis, alors il existe un élève qui est un ami d'un ami d'un ami... d'un ami de lui-même, les amis impliqués dans cette chaine en dehors de , tous distincts, étant au moins  ?
(e) S'il y a strictement plus de (n-2)/2) paires d'amis dans la classe, alors pour deux élèves et distincts quelconques, est un ami d'un ami d'un ami... d'un ami de , le nombre d'amis impliqués dans cette chaine en dehors de et de étant au moins  ?
|
|
|
