OMB - Epreuves Finales

OMB 2017 Finale MINI Question 1

Cette question est divisée en deux questions distinctes, chacune valant la moitié des points.

Question 1.

Soit $ABCD$ un carré dont la longueur du côté est 999. Le point $P$ du côté $[BC]$ et le point $Q$ du côté $[CD]$ sont tels que $|BP|=|DQ|=x$ . Quelle doit être la valeur de $x$ pour que les segments $[AP]$ et $[AQ]$ partagent le carré en trois parties de même aire ?

Question 2.

Un quadrillage de taille 4x6 est donné (ayant donc 5x7 sommets), avec ses lignes horizontales et ses lignes verticales. Deux sommets sont voisins s’ils sont à distance 1, soit sur une même horizontale, soit sur une même verticale.

a) Existe-t-il un coloriage des sommets, chacun en bleu ou en noir, comprenant autant de sommets bleus que de sommets noirs ?

b) Existe-t-il un coloriage des sommets, chacun en bleu ou en noir, tel que chaque sommet a un nombre pair non nul de voisins colorés en noir ?

c) Existe-t-il un coloriage des sommets, chacun en bleu ou en noir, tel que chaque sommet a un nombre pair de voisins colorés en noir et un nombre pair de voisins colorés en bleu ?

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