OMB - Epreuves Finales

OMB 2017 Finale MIDI Question 3

On dit qu'un nombre entier est digisible lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :

Aucun de ses chiffres n'est nul ;
Il s'écrit avec des chiffres tous différents ;
Il est divisible par chacun d'eux.

Par exemple, 24 est digisible (car il est divisible par 2 et par 4); 324 est digisible (car il est divisible par 3, par 2 et par4); 32 n'est pas digisible (car il n'est pas divisible par 3).

a) Proposer un autre nombre digisible à deux chiffres.

b) Proposer un nombre digisible à quatre chiffres.

c) Soit $n$ un entier digisible s'écrivant avec un 5.
   i. Démontrer que 5 est le chiffre de ses unités.
   ii. Démontrer que tous les chiffres de $n$ sont impairs.
   iii. Démontrer que $n$ s'écrit avec au plus quatre chiffres.
   iv. Déterminer le plus grand entier digisible s'écrivant avec un 5.

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