OMB - Epreuves Finales

OMB 2017 Finale MAXI Question 3

Considérons la suite définie, pour tout $n$ , par :

$\left\{\begin{array}{rcl}<br />t_0&=&1\\<br />t_{2n}&=&t_n\\<br />t_{2n+1}&=&1-t_n.<br />\end{array}\right.$

a) Quelles sont les valeurs prises par les différents termes de la suite ?

b) Calculer $t_{2017}$ .

c) La suite contient-elle 3 termes consécutifs égaux ?

d) Exprimer la valeur de $t_k$ en fonction de la décomposition de $k$ en somme de puissances distinctes de 2.

e) La suite est-elle périodique ? (C'est-à-dire: existe-t-il un naturel $p$ non nul tel que $t_{n+p}=t_n$ pour tout naturel $n$ ?)

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