OMB - Epreuves Finales

OMB 2018 Finale MIDI Question 3

Un couple $(a,b)$ de nombres naturels est dit brillant si le naturel $4ab+1$ est un carré parfait.

a) Existe-t-il une infinité de couples brillants ?

b) Si $p$ est un nombre premier quelconque, existe-t-il toujours un naturel $b$ tel que $(p,b)$ soit brillant ?

c) Combien existe-t-il de couples brillants $(p,q)$ avec $p$ et $q$ tous deux premiers ?

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