OMB - Epreuves Finales

OMB 2020 Finale MINI Question 1

Cette question est divisée en deux questions distinctes, chacune valant la moitié des points.

Question 1.

Des jardiniers ont marqué 1000 emplacements alignés le long d'une rivière (d'un seul côté), pour y replanter 900 noisetiers et 100 saules. Les noisetiers doivent être groupés en 2 blocs de 450 séparés par au moins 1 saule. Quel est le nombre de dispositions des noisetiers, en supposant qu'il est impossible de les distinguer les uns des autres ? Précision : une disposition des noisetiers est un choix de 900 emplacements parmi les 1000 emplacements marqués.

Question 2.

Si $n$ est un nombre naturel non nul, $n!$ est une abréviation pour $n \times (n-1) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$ . Par exemple, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$ . Quel est le plus petit nombre naturel non nul dont le produit par $12!$ est un carré parfait ?

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