OMB - Epreuves Finales

OMB 2020 Finale MINI Question 3

Les nombres 1, 2, 3 et 4 sont placés aux quatre sommets d'un carré. Sur la figure ci-contre, la somme des valeurs absolues des différences des deux nombres placés aux extrémités de chaque côté du carré vaut $|3-1|+|2-3|+|4-2|+|1-4|=2+1+2+3=8$ . (Rappel : la valeur absolue d'un nombre vaut le nombre lui-même s’il est positif, et son opposé s’il est négatif.)

a) Si le nombre 1 reste en place, combien existe-t-il de placements des nombres 2, 3 et 4 sur les trois sommets restants ? Et quelle est la plus petite somme ainsi obtenue ?

b) Les nombres 1, 2, 3 et 4 sont remplacés par quatre nombres réels $a$ , $b$ , $c$ et $d$ tels que $a<b<c<d$ . Si le nombre $a$ reste en place sur un sommet fixe du carré, combien de valeurs différentes prend la somme lorsque tous les placements de $b$ , $c$ et $d$ sont considérés ? Quelle est la plus petite de ces valeurs ?

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