OMB - Epreuves Finales

OMB 2021 Finale MAXI Question 3

Une session d'examens est organisée en sixième année à l'Institut Saint-Eddy-Merckx.
Le premier jour, les $E$ élèves de sixième année passent un examen.
Ils sont répartis dans $L$ locaux, avec $L$ non nul ; chaque local contient un nombre différent d'élèves, au moins trois.
Malheureusement, des tricheurs sont détectés. Ils sont exclus du deuxième examen, auquel participent, le jour suivant, tous les autres élèves.
Ce deuxième examen est organisé dans un certain nombre non nul de locaux ; cette fois encore, chaque local contient un nombre différent d'élèves, au moins trois.
De plus, les organisateurs parviennent à satisfaire la condition suivante : deux élèves ayant participé au premier examen dans un même local ne participent jamais au second examen dans le même local l'un que l'autre.

(a) Si $E=12$ et $L=3$ , les conditions ci-dessus déterminent le nombre de tricheurs détectés ; combien sont-ils ?

(b) Dans le cas général, montrer qu'au moins $2L+3$ tricheurs sont détectés.

(c) À quelle(s) condition(s) sur $E$ et $L$ est-il possible qu'exactement $2L+3$ tricheurs soient détectés ?

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