OMB - Epreuves Finales

OMB 2021 Finale MIDI Question 1

Un triplet de nombres réels strictement positifs $(x \, {;} \, y \, {;} \, z)$ est korek s'il vérifie les deux conditions suivantes :

$xyz>1\quad \mbox{ et } \quad x+y+z<\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z}.$

(a) Le triplet $\left(4 \, {;} \, 4 \, {;} \, \dfrac18\right)$ est-il korek ?

(b) Si $x=2021$ et $y=\dfrac1{2021}$ , existe-t-il un nombre $z$ tel que $(x \, {;} \, y \, {;} \, z)$ soit korek ?

(c) Existe-t-il des triplets $(x \, {;} \, y \, {;} \, z)$ koreks si $x=1$ ?

(d) Existe-t-il des triplets $(x \, {;} \, y \, {;} \, z)$ koreks avec $x=y=z$ ?

(e) Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ le triplet $\left(x \, {;} \, \dfrac1{2x} \, {;} \, \dfrac1{2x}\right)$ est-il korek ?

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