OMB - Epreuves Finales

OMB 2008 Finale MIDI Question 2 - Solution de Philippe Schram

Puisque $\alpha$ est la plus petite de ces fractions et que $\beta$ est la plus grande, on peut dire que $\alpha\leq \frac{a_n}{b_n}$ et $\beta\geq \frac{a_n}{b_n}$ pour tout $n\in\{1,2,\ldots,2008\}$ .

Puisque $\alpha\leq \frac{a_n}{b_n}$ et $b_n$ est un naturel, on a $\alpha \cdot b_n\leq a_n$ pour tout $n\in\{1,2,\ldots,2008\}$ .

D'où, en utilisant pour $n$ successivement les valeurs $1,2,\ldots,2008$ , on retrouve :

$\begin{array}{rcl} \alpha \cdot b_1&\leq &a_1\\ \alpha \cdot b_2&\leq &a_2\\ &\vdots&\\ \alpha \cdot b_{2008}&\leq &a_{2008}.\\ \end{array}$

En additionnant ces inégalités, on retrouve

$\begin{array}{l} \alpha \cdot b_1+\alpha \cdot b_2+\cdots+\alpha \cdot b_{2008}\leq a_1+a_2+\cdots + a_{2008}\\ \Leftrightarrow \alpha \cdot (b_1+b_2+\cdots+b_{2008})\leq a_1+a_2+\cdots + a_{2008}\\ \Leftrightarrow \alpha\leq \displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots + a_{2008}}{b_1+b_2+\cdots+b_{2008}} \mbox{ (1) puisque } b_1+b_2+\cdots+b_{2008}>0. \end{array}$

En réitérant pour $\beta$ :

$\beta\geq \frac{a_n}{b_n}\Leftrightarrow \beta\cdot b_n\geq a_n$ pour tout $n\in\{1,2,\ldots,2008\}$ , puisque $b_n>0$ .

D'où en prenant la somme,

$\begin{array}{l} \beta \cdot b_1+\beta \cdot b_2+\cdots+\beta \cdot b_{2008}\geq a_1+a_2+\cdots + a_{2008}\\ \Leftrightarrow \beta \cdot(b_1+b_2+\cdots+b_{2008})\geq a_1+a_2+\cdots + a_{2008}\\ \Leftrightarrow \beta\geq \displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots + a_{2008}}{b_1+b_2+\cdots+b_{2008}} \mbox{ (2) puisque } b_1+b_2+\cdots+b_{2008}>0. \end{array}$

En utilisant (1) et (2), on trouve $\displaystyle \alpha\leq \frac{a_1+a_2+\cdots + a_{2008}}{b_1+b_2+\cdots+b_{2008}}\leq\beta$ .

Poster commentaire
Message	EXEMPLE [plus...]
Options	Permettre les émoticônes Retour à la ligne automatique