OMB - Epreuves Finales

OMB 2022 Finale MAXI Question 1

Par définition, la factorielle $a!$ du nombre naturel $a$ non nul vaut $a!=a \times (a-1) \times \cdots\times 1$ .

a) Existe-t-il un nombre entier $a$ , compris entre 2 et 100, tel que $a!$ est un carré parfait ? Si oui, lequel ?

b) Le nombre $P = 1! \times 2! \times 3! \times \cdots \times 100!$ est-il un carré parfait ?

c) Existe-t-il un nombre entier $a$ , compris entre 1 et 100, tel que $\dfrac{P}{a!}$ est un carré parfait ?
i. Si oui, quelles sont toutes les valeurs possibles de $a$ ?
ii. Sinon, existe-t-il deux nombres entiers $a$ et $b$ distincts, compris entre 1 et 100, tels que $\dfrac{P}{a! \times b!}$ est un carré parfait ?

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