OMB - Epreuves Finales

OMB 2005 Finale MAXI Question 1

Dans l'expression

$(x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)^2=$

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots+x_n^2+2x_1x_2+2x_1x_3+\dots+2x_1x_n+2x_2x_3+\dots+2x_{n-1}x_n$

les nombres réels non nuls $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $\dots$ , $x_n$ ne sont pas tous positifs.

Existe-t-il des valeurs de ces nombres réels qui rendent le nombre de doubles produits positifs égal au nombre de doubles produits négatifs

(a) si $n=4$ ?

(b) si $n=2005$ ?

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que le nombre de doubles produits positifs
soit égal au nombre de doubles produits négatifs.

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