OMB - Epreuves Finales

OMB 2004 Finale MAXI Question 4

Une liste initiale contient tous les entiers de 1 à 2004 dans un ordre quelconque.

L'opération suivante lui sera appliquée de manière répétée :

Si la première valeur de la liste est le nombre $k$ , les $k$ premières valeurs sont récrites dans l'ordre inverse de celui où elles étaient (les autres valeurs sont inchangées). Notons que si $k=1$ , la liste n'est pas modifiée.

(a) Existe-t-il une liste initiale telle qu'après lui avoir appliqué l'opération quatre fois successivement, le nombre 1 apparaisse en première position (sans que 1 soit apparu plus tôt en première position) ?

(b) Existe-t-il une liste initiale telle qu'après lui avoir appliqué l'opération dix-sept fois successivement, le nombre 1 apparaisse en première position (sans que 1 soit apparu plus tôt en première position) ?

(c) Existe-t-il, pour tout naturel $n$ tel que $1\leq n\leq 2004$ , une liste initiale telle qu'après lui avoir appliqué l'opération $n$ fois successivement, le nombre 1 apparaisse en première position (sans que 1 soit apparu plus tôt en première position) ?

(d) Pour toute liste initiale, existe-t-il nécessairement un naturel $n$ tel qu'après avoir appliqué l'opération à la liste $n$ fois successivement, le nombre 1 apparaisse en première position ?

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