OMB - Epreuves Finales

OMB 2006 Finale MAXI Question 3 - Solution de Pierre Haas

(a) Il est connu et d'ailleurs immédiat que tout carré parfait est congru à 0 ou 1 modulo $4$ . Mais, pour tout entier $k\geq 2$ , nous pouvons affirmer que $2^k-1\equiv -1\mbox{ mod }4$ . Dès lors, il vient que $k<2$ . Le calcul donne alors les deux solutions uniques $(0,0)$ et $(1,1)$ .

(b) Pour la deuxième partie du problème, notons, au moyen d'une factorisation du terme $n^3+1$ que la condition donnée est en fait équivalente à

$3^k=n^3+1\Longleftrightarrow \big(n+1\big)\big(n^2-n+1\big)=3^k$

Si $n\not=0$ , ceci implique que $\big(n+1\big)$ et $\big(n^2-n+1\big)$ sont des puissances de $3$ . Or, nous avons la relation $n^2-n+1=\big(n+1\big)^2-3\big(n+1\big)+3$ . Par extension, $\big(n+1\big)$ et $\big(n^2-n+1\big)$ sont premiers entre eux si $(n+1)\notin\{1;3\}$ ou encore $n\notin\{0;2\}$ .

Pour $n=0$ et $n=2$ , nous obtenons les deux solutions uniques du problème, à savoir $(0,0)$ et $(2,2)$ .

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