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Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange

par Damien Galant sur 2/8/2014 22:21:18

Oui, c'est certain qu'il ne sert à rien de tout développer.
Le comptage des coefficients n'est pas bien compliqué en soi, mais il faut être concentré, on a vite fait de se tromper d'un facteur 2.
Après, on s'y fait.

Muirhead n'est pas si difficile à utiliser, mais il faut bien se rappeler de son fonctionnement, de l'homogénéité, de la symétrie (et des bricolages pour s'en passer), ...
Il y a aussi l'inégalité de Schur qui se combine bien avec Muirhead, mais il faut savoir que ça existe (après, c'est assez simple).

Il faut surtout avoir de l'habitude.
Je n'avais plus fait d'inégalités avancées depuis assez longtemps et une bonne révision était nécessaire.
Des choses comme Muirhead, ou pire Hölder et Minkowski demandent de bien s'en rappeler, sinon on peut faire n'importe quoi (et malheureusement, n'importe quoi est rarement correct ).

Pour "anonyme": non, Muirhead n'est pas directement utilisable pour simplifier une inégalité non homogène.
On peut s'en servir pour majorer (ou minorer) une somme symétrique (si on permute les variables, rien ne change) de termes de degré d, par une autre somme symétrique de termes du même degré d.
Par exemple on sait par Muirhead que (x^4/y + y^4/x) >= (x³ + y³) >= (x²y + xy²) pour x,y réels positifs, car ces 3 expressions sont symétriques de degré 3.
Mais Muirhead ne permet pas de comparer ces 3 expressions à x²y² (pas de degré 3) ou à x^5/y^2 (pas symétrique).
On ne peut pas comparer ce qui n'est pas comparable.
Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange

par anonyme sur 2/8/2014 20:18:22

Bonjour,


Merci à tous de m'avoir aidé et merci aussi pour les informations supplémentaires.

Je me demandais juste pourquoi on s'intéresse à savoir si une inégalité est homogène ou pas ?

L'inégalité de Muirhead est-elle applicable dans une inégalité non homogène ?

Je reconnais que l'outil est hyper efficace !
Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange

par Nicolas Radu sur 2/8/2014 17:34:11

Concernant l'égalité
(a+b+c+d)^3 = 4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0],
elle n'est en fait pas très compliquée à trouver. Le coefficient de chaque "crochet" est simplement égal au nombre de termes dans l'expression qui ont cette forme. Le coefficient de [3,0,0,0] sera donc le nombre de termes du type x^3 (il y en a clairement 4), le coefficient de [1,1,1,0] est le nombre de termes du type xyz. On peut se dire que dans
(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d),
on a 4 choix de variables dans la première parenthèse, puis 3 choix dans la deuxième (comme on ne peut prendre la même que dans la première), puis 2 dans la dernière, d'où 4*3*2 = 24.
Et puis pour le coefficient de [2,1,0,0] (termes du type x^2 y), on doit prendre deux fois la même variable x et une fois une autre y : on a 3 possibilités pour le choix de la parenthèse dans laquelle on prend la variable unique, puis 4 choix pour la variable unique et 3 choix pour la variable double, d'où 3*4*3 = 36.

Bref, un peu de chipotage pour dire que tu n'es pas obligé de trouver les 64 termes pour trouver les coefficients :)

A part ça, je ne pense pas que l'inégalité de Muirhead doit vous effrayer, elle est vraiment simple à retenir et pas beaucoup plus compliquée à appliquer. Bon c'est sûr qu'il faut s'y faire mais sinon...
Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange

par Damien Galant sur 2/8/2014 14:44:39

Merci pour la solution avec l'inégalité de Muirhead.
C'est vrai que c'est une technique efficace mais calculatoire.

Dans ce cas ci, il faut bien maîtriser le sujet et être très concentré pour arriver à prouver que
(a+b+c+d)^3 = 4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0]
On a vite fait de s'embrouiller en calculant les coefficients.

Je pense que Muirhead est vraiment difficile à comprendre seul quand on est en secondaire.
Ça reste difficile même avec ce que nous avons vu à Wépion.

Il ne faut pas oublier que le problème traité ici provient de "Clés pour les Olympiades n°6".
Il n'y a que 2 pages et on y explique seulement les moyennes arithmétique et géométrique.
Rien à propos de la moyenne harmonique ni à propos de Muirhead.

Concernant le challenge, vu comment la question est posée, je pensais que l'inégalité n'était probablement pas vraie pour un nombre quelconque de variables et qu'il faudrait trouver un contre-exemple puis trouver comment adapter pour généraliser.
Mais malgré plusieurs essais, je n'ai encore trouvé aucun contre-exemple, et je commence à penser que l'inégalité est peut-être vraie.
Je vais encore y réfléchir.
Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange

par François Glineur sur 1/8/2014 23:11:02

Je me permets de proposer une autre solution.

On va en fait prouver l'inégalité
(a+b+c+d)/4 >= ( (abc+abd+acd+bcd)/4 )^(1/3)
et l'inégalité demandée en découlera (cf. fin de la preuve de Damien).

On va utiliser le fait que l'inégalité est homogène. En effet, les deux membres sont homogènes de degré 1 : lorsqu'on remplace (a,b,c,d) par (ka,kb,kc,kd) on multiplie les deux membres par k, et l'inégalité est inchangée.

Pour les inégalités homogènes, une technique un peu calculatoire mais souvent très efficace consiste à utiliser l'inégalité de Muirhead (voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Muirhead dont j'utiliserai la notation).

L'inégalité est équivalent à
(a+b+c+d)^3 >= 16 (abc+abd+acd+bcd)

Le terme abc+abd+acd+bcd est égal à 4[1,1,1,0].
Le terme (a+b+c+d)^3, après expansion, peut s'écrire
4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0].

L'inégalité devient alors
4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0] >= 64[1,1,1,0]
qui est équivalente à
4[3,0,0,0]+36[2,1,0,0] >= 40[1,1,1,0]
qui est vraie puisque [3,0,0,0]>=[1,1,1,0] et [2,1,0,0]>=[1,1,1,0]
(par majorisation).

Un challenge pour terminer : l'inégalité
(a+b+c+d)/4 >= ( (abc+abd+acd+bcd)/4 )^(1/3)
est aussi équivalente à
( (a+b+c+d)/4 )^3 >= (abc+abd+acd+bcd)/4
ou encore
( (a+b+c+d)/4 )^3 >= abcd (1/a+1/b+1/c+1/d)/4
et donc
( (a+b+c+d)/4 )^3 4/(1/a+1/b+1/c+1/d) >= abcd
En posant MA la moyenne arithmétique, MG la moyenne géométrique et MH la moyenne harmonique on réécrit
MA^3 MH >= MG^4
Question : cette inégalité est-elle aussi vraie pour un nombre quelconque de variables ? Et sinon, comment la généraliser ?
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