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Re : Éli 1999 MaXi question 24

par Nicolas Radu sur 8/1/2013 14:34:23

Ce que je voulais dire, c'est qu'au final, tout le monde aura

Peu importe comment on y arrive, j'expliquais juste que je n'avais pas eu ton idée d'artifice et que j'étais parti d'une autre façon pour arriver à une telle décomposition.
Bref, on arrive à la même chose, ce n'est pas important
Re : Éli 1999 MaXi question 24

par anonyme sur 8/1/2013 10:23:43

J'ai trouvé ma solution avant de lire, jusqu'au bout, celle de Nicolas Radu.

Je me suis rendu compte que j'arrivais exactement au même résultat, mais comme la démarche est plus simple et directe, je me suis dit qu'elle pourrait intéresser Victor Lecomte.

Ma solution est uniquement basée sur (x+y)² = (x-y)² + 4xy
Dans le cas particulier ou x=a² et y=2b², on voit très vite que 4xy = 8a²b² = 2(2ab)²

La solution de Nicolas n'est pas trouvable en 3 minutes, la mienne si avec un peu de chance. Je crois que c'est à ça que pensait celui qui a écrit la question (même si résoudre en travaillant par élimination est encore plus simple).
Je reconnais volontiers que je n'aurais probablement jamais pensé à résoudre le problème comme l'a fait Nicolas (ni été capable de le faire si j'avais essayé).

Mon "artifice de calcul" n'est pas tombé du ciel par hasard, c'est un truc classique que Nicolas utilise d'ailleurs aussi "sans le dire" en ajoutant les 2 doubles produits de signes opposés nécessaires pour justifier sa seconde égalité:
(a²+2b²)(c²+2d²)
=a²c²+2a²d²+2b²c²+4b²d²
=(a²c²+4abcd+4b²d²)+(2a²d²-4abcd+2b²c²) [==> "artifice" si évident qu'il n'écrit pas cette ligne]
=(ac+bd)²+2(ad-bc)²
Dans ce cas l'artifice ne mène à rien de nouveau, et il essaie avec une autre variante en échangeant les places des doubles produits ajoutés.

=(a²c²-4abcd+4b²d²)+(2a²d²+4abcd+2b²c²)
=(ac-bd)²+2(ad+bc)²
Qui cette fois permet de trouver la solution.

J'aurais pu écrire aussi: n²=(a²+2b²)²=(a²-2b²)²+8a²b²=(a²-2b²)²+2(2ab)² sans parler d'artifice de calcul.
Re : Éli 1999 MaXi question 24

par Victor Lecomte sur 7/1/2013 19:00:48

Nicolas a fait une version longue pour montrer sa démarche de recherche instructive. Crois bien que s'il avait voulu nous montrer une solution courte et élégante, elle n'aurait pas fait le quart de ce qu'il a écrit.
Re : Éli 1999 MaXi question 24

par Nicolas Radu sur 7/1/2013 18:58:52

Ouai enfin si tu avais lu mon truc jusqu'au bout tu aurais vu que c'est exactement pareil que ce que j'ai fait. J'ai juste expliqué comment j'étais abouti à une telle décomposition, plutôt que de dire "par un artifice de calcul".
Re : Éli 1999 MaXi question 24

par anonyme sur 7/1/2013 17:52:17

Plus facile.

Par hypothèse on sait que:

On élève au carré et on développe:

Artifice de calcul: on change le signe du double produit et on ajoute ce qu'il faut pour compenser.


On écrit autrement pour faire apparaître les carrés.


On pose.


q est non nul car a et b sont non-nuls.
p est non nul, sinon et en décomposant en facteurs premiers on aurait un nombre pair de 2 à gauche et un nombre impair de 2 à droite.

Finalement CQFD
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