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Re : Questions 26, 28, 30 – MAXI 2020

par Corentin Bodart sur 22/2/2020 13:32:38

Q26 : Une astuce classique pour les éliminatoires et les demi-finales : les formules de Viète (aussi connue comme "Formule de sommes et produits") Si $a,b,c$ sont les trois racines de
$P(x)=x^3-3x^2-19x+1=(x-a)(x-b)(x-c),$
alors on a $a+b+c=3$ , $ab+bc+ca=-19$ et $abc=-1$ (en développant puis identifiant les coefficients de chaque degré). Du coup, on peut facilement calculer

$\frac1a + \frac1b+\frac 1c = \frac{bc+ca+ab}{abc}=19$

Q28 : Tout d'abord, muni toi d'un dessin à côté de toi.

Le plan c'est de calculer $S(CHO)=S(CBH)-S(OBC)$ . On a $S(ABC)=3$ puis, $O$ étant le milieu de $[AB]$ , on a $S(OBC)=\frac32$ .

Les triangles $ACH$ et $CBH$ sont similaires, de rapport $\frac23$ . On a donc $S(ACH)=\frac49\cdot S(CBH)$ . Puis

$3 = S(ABC) = S(ACH)+S(CBH) = \left(\frac 49+1\right)\cdot S(CBH) \Leftrightarrow S(CBH)=\frac{27}{13}$

En mettant tout cela ensemble,

$S(CHO) = \frac{27}{13}-\frac32=\frac{15}{26}$

Q30 : De nouveau, on utilise les formules de Viète :

$x^4-40x^2+k= (x-a)(x-b)(x-c)(x-d),$

on développe tout et on obtient quatre formules.

- La somme des quatre racines est "moins le coefficient de degré $3$ ", donc $0$ . Ainsi, les racines sont centrées autour de $0$ ; en notant $2r$ la raison, les racines sont $a,b,c,d=-3r,-r,r,3r$ .

- Le coefficient de degré $2$ est

$40 = ab+bc+cd+da+ac+bd = (a+d)(b+c)+ad+bc$

soit $40=r^2\cdot \big(-9-1)$ ou encore $r=\pm2$ .

- Finalement, le coefficient de degré $0$ est $k=abcd=9r^4=144$ .

Questions 26, 28, 30 – MAXI 2020

par Anonyme sur 15/2/2020 17:09:23

Bonjour,

Après avoir refait le questionnaire Maxi de cette année, je reste bloqué sur quelques questions. Est-ce que vous pourriez m'aider à trouver la méthode à utiliser ?

QUESTION 26 :
Soient a, b, c les trois racines réelles du polynôme x³ – 3x² – 19x + 1. Que vaut (1/a) + (1/b) + (1/c) ?
Réponse: 19

QUESTION 28 :
Le triangle ABC est rectangle en C, avec |AC|=2 et |BC|=3. Le point O est le milieu de [AB] et le point H est le pied de la hauteur issue de C. Que vaut l'aire du triangle CHO ?
Réponse: 15/26

Je suis parvenu à trouver les longueurs de |CH| = (6√13)/13 et |CO| = √13/2 mais je bloque pour trouver |OH| et donc trouver l'aire de CHO. Une idée ?

QUESTION 30 :
L'équation x⁴ – 40x² + k = 0, d'inconnue x, admet 4 racines réelles distinctes qui forment une suite arithmétique. Que vaut k ?
Réponse: 144

Merci énormément d'avance !

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