OMB - Forum

Menu principal

Accueil Questionnaires Olympiade Epreuves Finales Articles Album photo Forum

Sujets d'articles

Olympiade Belge Demi-finale Éliminatoire Finale Proclamation Olympiade Internationale Test AIME

Extrait de l'Album

Forum

Informations | BxMO 2017 | SBPM


Sujet :
Nom/Email :
Icône du message :
Sélectionner
Message :	EXEMPLE [plus...]
Options :	Activer les émoticones Activer les codes Xoops Activation du line break (Suggérré non activé si le HTML est activé)
Code anti-spam :	$8\times10=$

Re : Question maxi 30 2013

par Anonyme sur 11/1/2014 17:23:44

Merci beaucoup pour les explications ( qui sont très claires !!!)

Re : Question maxi 30 2013

par Nicolas Radu sur 8/1/2014 15:17:19

Il est possible de montrer rigoureusement qu'il n'existe pas d'autres triplets vérifiant ces équations.

Supposons en effet avoir $(x, y, z)$ tel que $x^2 + y^2 = z^2$ et $\frac{xy}{2} = x+y+z$ .

On peut par exemple calculer $2xy$ de deux manières différentes. On a $2xy = 4(x+y+z)$ , mais aussi

$2xy = (x+y)^2 - x^2 - y^2 = (x+y)^2 - z^2$

De ces deux égalités, on déduit que

$4(x+y+z) = (x+y)^2 - z^2$

$\Leftrightarrow 4(x+y+z) = (x+y+z)(x+y-z)$

$\Leftrightarrow 4 = x+y-z$

On a donc forcément $z = x+y-4$ . En remplaçant $z$ dans $x^2+y^2=z^2$ , on trouve

$x^2+y^2 = (x+y-4)^2 = x^2+y^2+16-8x-8y+2xy$

$\Leftrightarrow xy-4x-4y+8 = 0$

$\Leftrightarrow (x-4)(y-4) = 8$

On peut écrire $8$ comme $1\cdot 8$ ou $2 \cdot 4$ , ce qui donne les deux possibilités $(x,y) = (5, 12)$ et $(x, y) = (6, 8)$ , avec les $z$ valant chaque fois $x+y-4$ , donc $13$ et $10$ .

Re : Question maxi 30 2013

par Léo Schelstraete sur 5/1/2014 19:50:32

Salut,

Le problème revient à trouver 2 triplets de Pythagore (triplets d'entiers (x;y;z) respectant l'équation $x^2+y^2=z^2$ ) différents (triangles rectangles non isométriques) qui respectent l'équation $\frac{xy}{2}=x+y+z$ .

Les premiers triplets de Pythagore sont :
(3;4;5), (6;8;10), (5;12;13), ...

On remarque que :
$\frac{6 \times 8}{2}=6+8+10$ et $\frac{5 \times 12}{2}=5+12+13$

(6;8;10) et (5;12;13) respectent l'équation, la somme des aire est donc de 54.
Évidemment, c'est un peu difficile sans connaitre les premiers triplets de Pythagore.

PS:Je n'ai pas la preuve que ces triplets sont les seuls à vérifier l'équation, donc à priori d'autres solutions sont possible

Question maxi 30 2013

par Anonyme sur 28/12/2013 16:49:02

Bonjour,

voici l'énoncé d'un exercice que je ne parviens pas à résoudre, quelqu'un peut-il m'aider

On considère les triangles rectangles non isométriques deux à deux dont les côtés ont pour longueurs des nombres entiers et dont l'aire est égale en valeur au périmètre. Quelle est la somme des aires de ces triangles ?

Merci

Membres

Récupérer mot de passe

Recherche

Recherche avancée

Le site officiel de l'Olympiade Mathématique Belge

Contact webmasters :