OMB - Forum

Menu principal

Accueil Questionnaires Olympiade Epreuves Finales Articles Album photo Forum

Sujets d'articles

Olympiade Belge Demi-finale Éliminatoire Finale Proclamation Olympiade Internationale Test AIME

Extrait de l'Album

Forum

Informations | BxMO 2017 | SBPM


Sujet :
Nom/Email :
Icône du message :
Sélectionner
Message :	EXEMPLE [plus...]
Options :	Activer les émoticones Activer les codes Xoops Activation du line break (Suggérré non activé si le HTML est activé)
Code anti-spam :	$5\times9=$

Re : Différentes questions Demi-finales 2014

par Anonyme sur 16/12/2015 20:34:27

Merci beaucoup pour les explications !!

Re : Différentes questions Demi-finales 2014

par Nicolas Radu sur 9/11/2015 9:40:48

Je ne saurais pas t'aider pour les possibilités de réponses car je n'ai pas les questionnaires, mais pour la question 30 de maXi voici une solution :

Regardons les premières valeurs de $a_n$ : on a $a_1 = 1$ , $a_2 = 1$ , $a_3 = 2$ , $a_4 = 2$ , $a_5 = 2$ , $a_6 = 2$ , $a_7 = 3$ , $a_8 = 3$ , $a_9 = 3$ , $a_{10} = 3$ , ...

On voit que les nombres apparaissent chacun plusieurs fois (et de plus en plus) dans la suite, ce qui fait que lorsqu'on écrit la somme des $\frac{1}{a_i}$ , on va pouvoir mettre ensemble plein de termes (tous les $\frac{1}{2}$ mis ensembles vont donner $2$ comme il y en a quatre, etc).

Donc l'idée est de se demander, pour chaque nombre $k$ , combien de fois il apparaîtra dans la suite $a_1, \ldots, a_{2014}$ .
- Pour avoir $a_n = k$ , il faut que l'entier le plus proche de $\sqrt{n}$ soit $k$ , ce qui signifie que $\sqrt{n}$ doit être compris entre $k-\frac12$ et $k+\frac12$ . Donc on doit avoir $(k-\frac12)^2 \leq n \leq (k+\frac12)^2$ , ou autrement dit :

$k^2-k+\frac14 \leq n \leq k^2+k+\frac14.$

Comme on cherche les $n$ entiers, on en déduit que les nombres $n$ tels que $a_n = k$ sont exactement ceux de l'intervalle $[k^2-k+1, k^2+k]$ . Pour chaque $k$ , il y a donc exactement $2k$ nombres $n$ tels que $a_n = k$ . Si on écrit la somme des $a_n$ , cela veut dire que $\frac11$ va apparaître $2$ fois, $\frac12$ va apparaître $4$ fois, $\frac13$ va apparaître $6$ fois, etc. Or $2 \cdot \frac11 = 2$ , $4 \cdot \frac12 = 2$ , $6 \cdot \frac13 = 2$ : ces fractions se rassemblent à chaque fois pour donner $2$ . Le seul moment où elles ne vont peut-être pas se rassembler, c'est à la fin de la suite : vers $a_{2014}$ . Plus précisément, on a $a_{2014} = 45$ donc pour toutes les fractions $\frac11$ , $\frac12$ , ..., $\frac{1}{44}$ , on va avoir le phénomène ci-dessus qui va nous donner $2$ , mais par contre il n'y aura pas $90$ fractions $\frac{1}{45}$ comme on s'arrête plus tôt. Combien y aura-t-il de fractions $\frac{1}{45}$ ? Comme on l'a vu plus haut, on sait que $a_n = 45$ si et seulement si $n$ est dans l'intervalle $[45^2-45+1, 45^2+45]$ , c'est-à-dire $[1981, 2070]$ . Mais nous on s'arrête à $2014$ , donc on aura $34$ fractions $\frac{1}{45}$ . Au total, on en déduit que la somme des inverses vaut exactement :

$\underbrace{2 + 2 + \ldots + 2}_{44 \text{ fois}} + \frac{34}{45} = 88 + \frac{34}{45}$

et ceci donne une fraction dont le dénominateur est $45$ (et qui est complètement simplifiée).

(En espérant que je n'aie pas fait d'erreur de calcul)

Différentes questions Demi-finales 2014

par Anonyme sur 17/10/2015 23:12:09

Bonsoir à tous,

Quelqu'un pourrai-il me donner

- les possibilités (A B C D E)

-de la question 26 des demi-finales MINI: de combien de manières peut-on écrire 101 comme somme de trois carrés des naturels non nuls rangés dans l'ordre croissant ?

- de la question 10 des demi-finales MIDI 2014 :Lequel de ces nombres est la moyenne arithmétique d'un nombre naturel et de son carré

- l'explication pour résoudre la question 30 des demi-finales MAXI. Pour un entier naturel n,a_n (a indice n) désigne le nombre entier le plus proche de√n. On calcule 1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_2014 } et on simplifie au maximum. Quel est le dénominateur de la fraction obtenue ?

Merci beaucoup

Membres

Récupérer mot de passe

Recherche

Recherche avancée

Le site officiel de l'Olympiade Mathématique Belge

Contact webmasters :