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Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Francois Staelens sur 25/4/2011 22:28:14

Ben voilà ce que je cherchais comme formule miracleXD.
Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Pierre Haas sur 25/4/2011 19:21:08

Je l'utilise pour obtenir le résultat suivant: S'il existe une factorisation d'un polynôme à coefficients entiers dans , alors il en existe une dans .
Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Nicolas Radu sur 25/4/2011 19:11:40

Tu l'utilises comment en fait? J'ai pas tout saisi de ce passage-là.
Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Pierre Haas sur 25/4/2011 19:07:50

Mea culpa, je n'avais pas vraiment lu ton premier post. Et il faut dire qu'utiliser le lemme de Gauss semble un peu technique.
Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Nicolas Radu sur 25/4/2011 19:00:20

Oui c'est quand même plus ou moins ce à quoi je pensais, sauf que lorsqu'on a qui vaut ou pour tout entre et , j'aurais conclu ainsi :
Supposons qu'il existe deux nombres et tels que et valent et respectivement. Alors, on sait que divise . Donc ou . Ce qui signifie que deux entiers et tels que et sont différents sont toujours espacés d'au plus . Dès lors, il n'y a jamais deux tels et , parce que... c'est impossible xD. Comment le dire formellement ? On a et . Or, et valent ou eux aussi, et on trouve dans tous les cas deux nombres parmi qui sont espacés de plus de et dont l'image par est différente.
Tout cela pour dire qu'on a (ou mais cela revient au même) pour tout entre et , donc est un polynôme de degré au plus qui possède zéros (). Donc soit auquel cas qu'il faut rejeter, soit auquel cas . Et comme divise , ben les seules possibilités sont et , et voilà :p
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