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Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Francois Staelens sur 25/4/2011 22:28:14

Ben voilà ce que je cherchais comme formule miracleXD.

Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Pierre Haas sur 25/4/2011 19:21:08

Je l'utilise pour obtenir le résultat suivant: S'il existe une factorisation d'un polynôme à coefficients entiers dans $\mathbb{Q}[X]$ , alors il en existe une dans $\mathbb{Z}[X]$ .

Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Nicolas Radu sur 25/4/2011 19:11:40

Tu l'utilises comment en fait? J'ai pas tout saisi de ce passage-là.

Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Pierre Haas sur 25/4/2011 19:07:50

Mea culpa, je n'avais pas vraiment lu ton premier post. Et il faut dire qu'utiliser le lemme de Gauss semble un peu technique.

Re : Finale maXi 2000 Question 3

par Nicolas Radu sur 25/4/2011 19:00:20

Oui c'est quand même plus ou moins ce à quoi je pensais, sauf que lorsqu'on a $s(k)$ qui vaut $1$ ou $-1$ pour tout $k$ entre $1$ et $2000$ , j'aurais conclu ainsi :
Supposons qu'il existe deux nombres $k$ et $j$ tels que $s(k)$ et $s(j)$ valent $1$ et $-1$ respectivement. Alors, on sait que $k-j$ divise $1-(-1) = 2$ . Donc $|k-j| = 1$ ou $|k-j| = 2$ . Ce qui signifie que deux entiers $j$ et $k$ tels que $s(j)$ et $s(k)$ sont différents sont toujours espacés d'au plus $2$ . Dès lors, il n'y a jamais deux tels $j$ et $k$ , parce que... c'est impossible xD. Comment le dire formellement ? On a $s(k) = 1$ et $s(j) = -1$ . Or, $s(1)$ et $s(2000)$ valent $1$ ou $-1$ eux aussi, et on trouve dans tous les cas deux nombres parmi $\{1, j, k, 2000\}$ qui sont espacés de plus de $2$ et dont l'image par $s$ est différente.
Tout cela pour dire qu'on a $s(k) = 1$ (ou $-1$ mais cela revient au même) pour tout $k$ entre $1$ et $2000$ , donc $P(x)-s(x)$ est un polynôme de degré au plus $2000$ qui possède $2000$ zéros ( $1, ..., 2000$ ). Donc soit $P(x) - s(x) = 0$ auquel cas $s(x) = P(x)$ qu'il faut rejeter, soit $P(x) - s(x) = a(x-1)(x-2)...(x-2000)$ auquel cas $s(x) = (1-a)(x-1)...(x-2000) + 1$ . Et comme $s(x)$ divise $P(x)$ , ben les seules possibilités sont $a = 0$ et $a = 1$ , et voilà :p

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