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Re : FINALE MINI 2008 - Question 1

par Anonyme sur 1/5/2008 18:21:10

Soit un gnomon de dimension $n$ , en ajoutant 6 allumettes on peut obtenir un gnomon de dimension $n+1$ . Ce faisant nous augmentons le nombre de carrés de 2.
Comme le gnomon de dimension 1 est constitué d'un unique carré et de 4 allumettes, le gnomon de dimension n sera constitué de $1 + 2(n-1)$ carrés et de $4 + 6 (n-1)$ allumettes.
Soit un carré de dimension $n$ , il est constitué de $n+1$ rangées de $n$ allumettes placées horizontalement et de $n+1$ rangées de $n$ allumettes placées verticalement. Il y a donc $2n(n+1)$ allumettes. Il est composé de $n^2$ carrés $1\times 1$ .
(a) Comme $2008 = 6\times 334+4$ , le plus grand gnomon utilise toutes les allumettes et se compose de $1+2\times 334=669$ carrés.
(b) Comme $2\times 31\times 32\le 2008<2\times 32\times 33$ , le plus grand carré utilise $2\times 31\times 32 = 1984$ allumettes et se compose de $31^2=961$ carrés.
(c) La réponse des 1984. Une valeur plus élevée serait érronée du fait que le plus grand carré que l'on puisse construire utilise 1984 allumettes. De plus nous remarquons que $1984=4+6\times 330$ , il est donc possible de construire un gnomon en utlisant toutes ces allumettes.

FINALE MINI 2008 - Question 1

par Nicolas Franco sur 30/4/2008 19:29:53

FINALE MINI 2008 - Question 1

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