OMB - Forum

Menu principal

Accueil Questionnaires Olympiade Epreuves Finales Articles Album photo Forum

Sujets d'articles

Olympiade Belge Demi-finale Éliminatoire Finale Proclamation Olympiade Internationale Test AIME

Extrait de l'Album

Forum

Informations | BxMO 2017 | SBPM


Sujet :
Nom/Email :
Icône du message :
Sélectionner
Message :	EXEMPLE [plus...]
Options :	Activer les émoticones Activer les codes Xoops Activation du line break (Suggérré non activé si le HTML est activé)
Code anti-spam :	$7\times10=$

Re : FINALE MINI 2008 - Question 4

par Nicolas sur 1/5/2008 18:25:20

Le nombre de pépites que j'ai trouvées n'est autre que :
$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$
Tout d'abord comme il me faut prendre la moitié du poid total, il faut que $\frac{n(n+1)}{2}$ soit pair.
Pour cela il faut que $n$ ou $n+1$ soit multiple de 4.
Ma femme ne veut couper aucune pépite (Allons savoir pourquoi). Montrons donc qu'il y a moyen de prendre $\frac{n(n+1)}{2}$ grammes à partir de pépites de $1, 2, ... n$ grammes.
Il suffit à ma femme de répéter l'étape qui suit jusqu'à avoir le bon compte :
Soit $m$ le poids d'or qu'il lui faut encore (si elle n'a pas encore pris de pépite, $m = \frac{n(n+1)}{2}$ , si elle en a déjà, $m$ vaut $\frac{n(n+1)}{2}$ diminué du poids total des pépites déjà en sa possession).
Il y a alors deux possibilités :
- Soit il y a encore une pépite de $m$ grammes, auquel cas il suffit de la prendre et elle a terminé.
- Soit $m$ est supérieur au poids de la pépite la plus lourde restante, auquel cas on prend la pépite la plus lourde et on recommence cette étape.

Un petit exemple ne faisant jamais de tort, si $n = 7$ , il y a alors $28$ grammes d'or et ma femme en veut $14$ .
Elle prend d'abord la pépite de $7$ grammes, ensuite celle de $6$ grammes, puis comme il ne lui faut plus qu' $1$ gramme, elle peut prendre la pépite d' $1$ gramme.

En voie de conséquence, il faut que n ou n+1 soit divisible par 4 pour permettre à ma femme de prendre la moitié du poids de MES pépites.

le partage est donc possible pour $n=12$ et $n=11$ , mais pas pour $n=5$ . Et en général, on a
$n = \{4k : k \in\mathbb{N}\} \cup\{4k-1 : k \in\mathbb{N}\}$

FINALE MINI 2008 - Question 4

par Nicolas Franco sur 30/4/2008 19:36:12

FINALE MINI 2008 - Question 3

Membres

Récupérer mot de passe

Recherche

Recherche avancée

Le site officiel de l'Olympiade Mathématique Belge

Contact webmasters :