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Re : FINALE MAXI 2008 - Question 1

par Nicolas sur 1/5/2008 13:23:25

Voici ma solution :

(A) Si et sont les longueurs des deux autres cotés du triangle, alors nous avons :

De plus dans un triangle rectangle, l'hypothénuse n'est autre que le diamètre du cercle circonscrit au triangle. Dès lors,

Montrons aussi que la longueur du rayon du cercle inscrit respecte dans tout triangle rectangle :

la formule (A étant l'aire du triangle) étant connue, on a :

En remplacant par , on obtient alors




Ce qui est toujours vrai vu que par Pythagore, .
On a donc bien
Calculons alors :



On a donc bien démontré l'égalité demandée.

(B) Comme nous l'avons démontré précédemment,



Il nous faut donc maximiser .
Elevons cette expression au carré :
par Pythagore

Or, est toujours inférieur ou égal à . Effectivement :


Donc nous avons logiquement et il y a égalité lorsque
Le maximum de est donc ce qui implique directement que le maximum de est et donc, comme
,
avec égalité lorsque , c'est à dire lorsque le triangle est rectangle isocèle.
Re : FINALE MAXI 2008 - Question 1

par Nicolas Franco sur 30/4/2008 20:00:50

Tout ce que tu risquais, c'était que le correcteur de cette question te retire l'un ou l'autre point parce que tu ne l'avais pas démontré.
Re : FINALE MAXI 2008 - Question 1

par Anonyme sur 30/4/2008 19:56:17

Bonsoir,

Je me demandais juste si le fait que r = (a+b-c)/2 dans un triangle rectangle est admis, ou est à démontrer... en ce qui me concerne je l'ai démontré par p/2 * r = A mais je me demande si c'etait très utile...

Merci d'avance
FINALE MAXI 2008 - Question 1

par Nicolas Franco sur 30/4/2008 19:42:37

FINALE MAXI 2008 - Question 1
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