| Re : FINALE MAXI 2008 - Question 2 |
par Lepuslapis sur 30/4/2008 21:36:52
En posant  dans la première inéquation donnée, nous trouvons que \leq 0) . En posant  dans la deuxième inéquation donnée, il vient que \leq 2f(0)) ou \geq 0) . Par voie de conséquence, =0) . Ensuite, d'une part, la première inéquation nous assure que +f(-x)\leq x+(-x)=0) . D'autre part, en posant  dans la deuxième inéquation, nous trouvons que =f\big(x+(-x)\big)\leq f(x)+f(-x)) . D'où nous tirons que +f(-x)=0) ou =-f(x)) et  est impaire. Soit alors  . Par hypothèse, \leq x) . Vu les propriétés des symétries centrales, étant impaire, nous en déduisons que \geq -x) . Or, par hypothèse, nous avons \leq -x) . Par voie de conséquence, est l'application identique sur  , et, vu le fait que la fonction est impaire, sur  . Inversement, on vérifie que la fonction =x) vérifie bien la double inéquation fonctionnelle donnée.
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| FINALE MAXI 2008 - Question 2 |
par Nicolas Franco sur 30/4/2008 19:42:39
FINALE MAXI 2008 - Question 2
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