Bonjour,

Il y a beaucoup de manières d'approcher , puisqu'il a beaucoup de définitions équivalentes différentes...
Ceci étant, une façon de l'approcher que j'apprécie particulièrement car elle est très visuelle, c'est d'essayer d'approcher le périmètre d'un cercle avec des polygones réguliers. Je m'explique.
Prenons un cercle de rayon 1 (de la sorte on sait par une des définitions de que le périmètre de ce cercle est ).
Maintenant, tu inscris un octogone régulier, disons, dans le cercle. On voit immédiatement que le périmètre de cet octogone est plus petit que le périmètre du cercle. Or, on peut calculer le périmètre de cet octogone assez facilement! En effet, si tu découpes cet octogone en 8 petits triangles identiques, tu vois qu'il s'agit de 8 fois le troisième côté d'un triangle isocèle de côté identique 1 et d'angle 45° compris entre les deux. De là, tu peux utiliser la formule de Pythagore généralisé (aussi appelé théorème d'Al-Kashi) qui te dit que la longueur du troisième côté est donnée par

Et tu trouves donc car
Donc ceci nous apprends déjà que .
Si tu prends ta calculatrice, cela donne

Cela ne nous donne qu'une borne inférieure pour , mais on peut procéder pareillement pour obtenir une borne supérieure, en construisant un octogone régulier qui soit à l'extérieur de ce cercle (qui ait ce cercle pour cercle inscrit, pour être plus précis).
Alors, à nouveau, tu peux calculer le périmètre de cet octogone facilement. Il s'agit de 8 fois le troisième côté d'un triangle isocèle de hauteur 1 et d'angle 45°. Si on appelle la longueur de ce côté recherché, on peut voir (en tracant la hauteur de longueur 1) que .
Encore faut-il connaître la valeur de mais ce n'est pas très compliqué d'obtenir le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle si on connait le sinus, le cosinus et la tangente de son double. Ici, on connait bien les valeurs pour 45° donc on peut trouver celle pour 22.5° en utilisant Carnot.
Résultat, on trouve que
Evidemment, je l'ai fait avec un octogone, mais tu peux maintenant le faire avec un polygone régulier à 16 côtés, puis 32 côtés, etc... et tu trouveras des approximations de plus en plus précises!
La formule générale que tu vas trouver, si tu prends un polygone à cotés, est :


En prenant , tu obtiens

En prenant tu obtiens

Ce qui a vraisemblablement l'air de se rapprocher de la vraie valeur de (Note : je ne sais pas où tu as été chercher ta valeur de mais elle m'a l'air un peu fausse )

Ceci étant, ce n'est certainement pas la méthode que les vrais mathématiciens utilisent pour trouver les décimales de , il y a des méthodes qui fonctionnent bien mieux. Mais tu peux toujours chercher sur internet, il y a beaucoup d'articles qui parlent de ce genre de choses.

Pour ce qui est de , je pense que c'est beaucoup plus simple car sa définition même est

En ne faisant la somme que des dix premiers termes disons, on arrive déjà à une bonne approximation de . Il ne s'agit que d'une borne inférieure évidemment mais il y a des résultats d'analyse qui permettent de trouver une borne supérieure également.

Je ne sais pas si ils envoient des lettres, mais les qualifiés seront annoncés sur ce site (à mon avis avant toute autre chose).

C'est peut être au cas où quelqu'un trouve erronément une solution non entière et commence à demander comment il doit la mettre dans la case et tout, tout le monde n'est pas toujours au courant des règles générales

Ben comme tout système d'équations qui se respecte, il faut essayer de faire disparaitre des variables une à une en combinant les équations intelligemment. Genre quand deux trucs se ressemblent comme les deux premiers membres de droites, tu peux essayer de les faire partir. Ce n'est généralement pas nécessaire de devoir en arriver à factoriser un truc un peu immonde comme tu l'as fait :D. Bon et puis il y a les classiques où tu dois faire la somme de toutes les équations afin que tout se téléscope, mais je ne t'apprends rien...

Ah flute je viens juste de voir que tu voulais une solution intuitive :D
Et heureusement que tu t'es trompé de date dans le bon sens :)

Bon en y allant totalement au feeling...
Si tu multiplies la première équation par et la deuxième par , tu obtiens le même membre de droite, et tu en déduis donc

que tu peux réécrire :

Donc tu as soit , soit .
Je me suis d'abord attaqué à en le mettant dans la troisième équation et en gardant la deuxième :


Par magie, apparait des deux cotés et on a donc

d'où et .
Après il y a le cas qui a l'air plus ennuyant à traiter, mais comme la solution ne peut être qu'unique (à moins qu'il y ait la proposition "il y a plusieurs solutions"), je ne me suis pas trop penché dessus...

Les scores ne sont pas sur internet, ce sont les écoles qui les annoncent ou les affichent selon leur envie... Tu devrais donc de renseigner auprès de ton professeur.

Ce que je voulais dire, c'est qu'au final, tout le monde aura

Peu importe comment on y arrive, j'expliquais juste que je n'avais pas eu ton idée d'artifice et que j'étais parti d'une autre façon pour arriver à une telle décomposition.
Bref, on arrive à la même chose, ce n'est pas important

Ouai enfin si tu avais lu mon truc jusqu'au bout tu aurais vu que c'est exactement pareil que ce que j'ai fait. J'ai juste expliqué comment j'étais abouti à une telle décomposition, plutôt que de dire "par un artifice de calcul".

J'ai quand même cherché une demi-heure à mettre



sous la forme



et je n'ai jamais trouvé de cette façon... Il fallait penser à mettre un moins quelque part quoi. Enfin de rien! Heureusement pour toi que j'ai trouvé dans un temps raisonnable car sinon j'aurais cherché pendant tout mon blocus et tu aurais été responsable de ma perte :p