Après une demi-heure de recherche, je me suis dit que j'allais rendre le problème plus difficile pour y voir plus clair (hum), à savoir montrer que le produit de deux nombres de la forme était aussi de cette forme.

Et en fait, on voit vite que :



A ce moment, on annonce à toute sa famille notre génie, puis on pose et puisque c'est ce qui nous intéresse, et on se rend compte qu'on a prouvé que



Avant d'aller chercher un couteau dans la cuisine pour se l'enfoncer dans le coeur, on se dit qu'on pourrait peut-être changer la place du signe moins, ce qui donne plutôt



Et qui devient



Wouhou! Reste plus qu'à se convaincre que les deux termes sont non-nuls. C'est évident pour le deuxième, et pour le premier, par l'absurde on aurait , donc et serait rationnel!

Certes, j'aurais pu te donner directement la formule mais je ne voudrais pas faire croire que je l'ai trouvée du premier coup :)

En effet, il arrondit bien car la vraie factorielle de 99 est
933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952175999932299156089414639761565182862536979208272237582511852109168640000000000000000000000

Franchement non. Et puis ca varie d'année en année, donc ca ne t'indiquerait pas grand chose. Un peu de patience hein :)

Oui : Non. Il n'y a pas de tels site reprenant tous les seuils de qualifications. Il y a moyen de trouver certains trucs en cherchant bien sur internet... D'autres gens en discutent d'ailleurs dans d'autres sujets du forum.

Je suis pas convaincu par cet argument... Peut-être qu'ils ne communiquent les points que de ceux qui ont fait un score supérieur à 70 (vu qu'il y a très peu de chance que 90% des gens fassent moins de 70), mais qu'ils communiquent quand même le nombre de participants total. Ca n'a aucun sens de prendre 10% des gens ayant fait plus de 70...
Je viens d'ailleurs de voir une école où 101 étudiants de première année ont participé, et seulement 17 ont plus de 70. Si ils suivent votre règle, on va se retrouver avec très peu de monde en demi-finale.

Je viens d'aller voir la réponse sur le site et la réponse est bien A...

Il y a plusieurs façons de procéder... Mettre en équation : Si tu appelles ton naturel , tu as , ce qui revient à . Le cube de doit donc être un petit peu plus grand que . En regardant un peu, on voit que et c'est donc la réponse. Ou alors, regarder les diviseurs de . On a . Il faut maintenant regrouper ces facteurs de sorte à avoir trois facteurs consécutifs. Un des facteurs doit être multiple de , et on se rend compte que si on prend autre chose que (minimum ), il nous sera impossible de construire des facteurs aussi grands avec le reste. Donc un des facteurs est . C'est donc , ou . Vu qu'il y a un facteur , il y a forcément et vu qu'il n'y a pas de , la réponse ne peut être que (et on peut le vérifier).

1) Y'a un truc grammatical bizarre dans ta question, donc j'espère avoir bien compris. Si tu regardes un nombre naturel à 7 chiffres, il est rate qu'il ait une somme des chiffres si grande... En effet, en mettant sept 9, la somme vaut 63. Donc il n'y a pas beaucoup de manières d'obtenir une somme de 61. Il faut soit mettre six 9 et un 7, soit mettre cinq 9 et deux 8. Dans le premier cas, tu as 7 tels nombres (tu peux mettre le chiffre 7 à 7 endroits différents dans le nombre). Et dans le deuxième cas, tu en as 7*6/2 (tu as autant de possibilités de choisir où tu vas mettre les deux 8 dans le nombre). Donc au total on a 7 + 21 = 28 tels nombres.

2) On définit juste une fonction "*". Il suffit de calculer en respectant les parenthèses. Tu devrais donc calculer 11*12 en calculant (11-12)²-(12-11)² et puis faire 10 * le résultat obtenu. Ceci étant, on remarque vite que a*b = 0 pour tout a et b, donc ca ne vaut pas vraiment la peine de faire les calculs... On trouvera 0.

3) Bon je viens de faire tout un paragraphe pour rien car je viens de m'apercevoir que le nombre dans la question est limité et non illimité périodique comme j'ai cru. Je te le dis quand même : Quand tu mets une fraction N/999...99 avec n neufs au dénominateur (10^n - 1), et avec N < 999...99, sa représentation décimale va être périodique de période n, et la période n'est rien d'autre que N (en mettant des zéros avant s'il le faut). Par exemple, 187/9999 = 0.018701870187... C'est facile à montrer. Si tu prends x = 0.01870187... et que tu le multiplies par 10^4, tu obtiens 187.01870187... On a donc (10^4 - 1)x = 187, d'où x = 187/9999. Dans ton cas, on a donc 125/999 = 0.125125... Qui n'est donc pas la réponse haha. Sinon, il faut tester les autres solutions... 125/1001 est inférieur à 125/1000 = 0.125 donc ce n'est pas ca. 125/999 c'est ce que je viens de dire. 1/8 / 1/3 = 3/8 = 0.375 (ou j'ai mal compris la réponse...), pour voir si 1.01/8 = 0.125125, tu peux multiplier 0.125125 par 8 et voir si on retombe sur 1.01. Or, on obtient 1.001 donc ce n'est pas ca. Reste 3003/24000 qui est forcément la bonne réponse, et on peut vérifier : 3003/24000 = 1001/8000 = 1.001/8 = 0.125125.

4) On a dix nombres a1, ..., a10 et on sait que (a1+...+a10) /10 = 166 donc a1+...+a10 = 1660. Une fois qu'on enlève a10, on a (a1+...+a9)/9 = 153 donc a1+...+a9 = 1377. On a donc a10 = 1660-1377 = 283.

Pour ce genre de question, il faut regarder ce qu'il se passe pour les premières puissances de 2. Si tu regardes les restes des divisions par 13 des premières puissances de 2, tu trouves :
2^0 -> 1
2^1 -> 2
2^2 -> 4
2^3 -> 8
2^4 -> 16 -> 3
2^5 -> 6 (tu peux multiplier 3 par 2, pas la peine de repartir de 16)
2^6 -> 12
2^7 -> 24 -> 11
2^8 -> 22 -> 9
2^9 -> 18 -> 5
2^10 -> 10
2^11 -> 20 -> 7
2^12 -> 14 -> 1
Et là si tu veux continuer, tu te rends compte que ca va être périodique. 2^0, 2^12, 2^24,... vont te donner 1. Le reste de la division de 2^n par 13 ne dépend donc que du reste de la division de n par 12. Or, on a 2003 = 166*12 + 11, donc le reste de la division de 2^2003 par 13 est le même que celui de la division de 2^11 par 13, et on a vu que c'était 7 (si je ne me suis pas trompé :))

2^3 = 8
2^6 = 8² = 64
2^12 = 64² = 22
2^24 = 22² = 96 = -1
2^48 = 1

Modulo 97, cela s'entend :D. Donc t'es pas obligé de faire 48 calculs mais bon... Ceci étant j'aurais quand même jamais trouvé 97 :p