- Quel est le plus petit naturel de la forme qui est aussi la somme d'un carré parfait et d'un cube parfait, étant un naturel non nul?

Déjà je me demande si le cube parfait doit être positif ou pas. Si il peut être négatif, alors pour égal à on a . Si le cube parfait doit être positif, par contre alors je pense qu'il n'y a pas vraiment de secret... Les deux premiers cubes parfaits étant , et , si tu essayes pour égal à , , , ou , tu trouves , , et . Pour qu'ils soient sommes d'un carré et d'un cube, il faut donc que le cube soit ou , mais ça ne marche jamais. Et pour , on trouve , ce qui fonctionne.

- Combien de polynômes à coefficients réels sans terme constant vérifient pour tout réel, ?

De manière intuitive, on peut se dire qu'il nous faut un polynôme dont le graphe est celui du polynôme sur translaté une infinité de fois... Ca parait fort difficile pour un polynôme qui n'est pas une droite. Et pour une droite, comme le coefficient du polynôme doit être nul, il doit être de la forme et on trouve directement que seul fonctionne. Ce qui nous fait qu'il y a juste qui vérifie les conditions. Si on veut une démonstration moins intuitive, on peut dériver la relation, ce qui donne . Donc est périodique de période , ce qui n'arrive jamais pour un polynôme non constant (car il doit tendre vers l'infini à l'infini). Donc avec constant. Là aussi, on trouve donc car le coefficient constant est nul.

- Quelle est le nombre de solutions entières de ?

Cela revient à . Tout de suite, ça parait compliqué d'en trouver le nombre de solutions car pour chaque , il faudrait trouver la décomposition de en facteurs premiers et tout le tralala... Ca laisse donc penser qu'il y en une infinité. Et en effet, si on prend impair alors est aussi impair et on peut prendre et , ce qui donne et . On a donc, pour tout impair, un exemple de et entiers qui vérifient l'équation, donc il y a bien une infinité de solutions.

- Chercher les diviseurs de , compris entre et .

On peut décomposer en




De plus, on a la formule pour chacun des premiers termes, d'où au final :

Ce qui nous donne, en calculant tous les termes :


Il y a moyen de se convaincre qu'ils sont tous premiers, à part éventuellement le dernier que j'ignore...
En combinant les premiers termes, on trouve comme diviseurs :
, et pas d'autres, ce qui me laisse dire que n'était pas premier, et google me laisse dire que , ce qui me laisse dire que les diviseurs recherchés sont .

(a+1)²(a-1) + (a+1)(a-1)²
= (a²+2a+1)(a-1) + (a+1)(a²-2a+1)
= (a³+2a²+a-a²-2a-1) + (a³-2a²+a+a²-2a+1)
= 2a³-2a

Tu ne devras répondre qu'aux questions Midi lors de l'épreuve. Tu peux toujours faire des questions Mini chez toi pour t'entrainer, mais elles sont plus faciles évidemment.

Euh, tu peux tout développer et tu tomberas sur la bonne réponse... Ou alors, pour aller plus vite, tu mets (a+1)(a-1) en évidence, et tu obtiens
(a+1)(a-1)[(a+1)+(a-1)]
Vu que (a+1)(a-1) = a²-1, ca donne (a²-1)2a = 2a³-2a.

Je vais parler au nom de Philippe Niederkorn :

Etudiez votre géométrie bon sang!

Eh ben :D. Chouette souvenir!
Moi en 2008 c'était mon échec de la paella déjà raconté, et en 2009 une magnifique vidéo où on sortait Loïc et moi du tiroir en dessous du lit, sur une musique de Thriller, après que Cédric ait dit "Voilà, Jack, j'ai rangé les cadavres" (ou quelque chose de similaire). Il fallait bien rendre hommage au roi de la pop décédé le mois précédent...
C'est moins mathématique mais bon, on s'amuse comme on peut XD

Histoire de jouer dans cette cour :

J'apprécie tout particulièrement le problème 2005/6

Haha :D

Ah oui ce problème avait été proposé par Charles Leytem et ressemble assez bien à ce dont vous parliez... Evidemment s'il faut connaître tous les problèmes d'OMI et leurs auteurs pour comprendre les blagues subtiles de Nicolas :p

Merci pour ta joie de vivre naturelle, François.

Tu l'utilises comment en fait? J'ai pas tout saisi de ce passage-là.