Oui c'est quand même plus ou moins ce à quoi je pensais, sauf que lorsqu'on a qui vaut ou pour tout entre et , j'aurais conclu ainsi :
Supposons qu'il existe deux nombres et tels que et valent et respectivement. Alors, on sait que divise . Donc ou . Ce qui signifie que deux entiers et tels que et sont différents sont toujours espacés d'au plus . Dès lors, il n'y a jamais deux tels et , parce que... c'est impossible xD. Comment le dire formellement ? On a et . Or, et valent ou eux aussi, et on trouve dans tous les cas deux nombres parmi qui sont espacés de plus de et dont l'image par est différente.
Tout cela pour dire qu'on a (ou mais cela revient au même) pour tout entre et , donc est un polynôme de degré au plus qui possède zéros (). Donc soit auquel cas qu'il faut rejeter, soit auquel cas . Et comme divise , ben les seules possibilités sont et , et voilà :p

Merci pour ces explications concernant les heures, j'aurais difficilement pu le trouver moi même avec les données que j'avais recueillies!

François : Je dois avouer ne pas être super convaincu par ta "sens perte de généralité" XD. De plus, les coefficients de R pourraient être irrationnels :)). Bon là j'abuse un peu, c'est débile à montrer qu'ils sont pas irrationnels.
Il faudrait que tu nous fasses une preuve plus expliquée :p. Ceci dit, il me semblait que ce problème était faisable sans passer par cette histoire de R à coefficients entiers...

Et, tant qu'on est pas dans le sujet, j'ai une terrible question qui me turlupine l'esprit depuis deux jours, à poser au webmaster. J'ai récemment remarqué que la date du dernier article posté (celui des résultats AIME) change, et est parfois le 6/4/2011, parfois le 7/4/2011. Plus troublant encore, lorsque l'on clique sur ledit article, la date de celui-ci dans l'article est soit 6/4/2011 (à 23h30) soit 7/4/2011 (à 00h30), et cette date n'est en aucun lien apparent avec la date qui était mise à la page d'accueil =D. J'ai donc fait une liste avec les deux dates (sur la page d'accueil et sur l'article lui-même) pour tenter de comprendre la logique de cet événement :
Hier 9h10 : 7/4/2011 - 6/4/2011
Hier 16h50 : 7/4/2011 - 7/4/2011
Hier 17h20 : 7/4/2011 - 6/4/2011
Hier 19h25 : 7/4/2011 - 7/4/2011
Hier 21h11 : 6/4/2011 - 6/4/2011
Hier 21h45 : 7/4/2011 - 6/4/2011
Hier 23h27 : 6/4/2011 - 6/4/2011
Ajd 10h50 : 7/4/2011 - 7/4/2011
Ajd 13h43 : 7/4/2011 - 6/4/2011
Ajd 20h10 : 6/4/2011 - 6/4/2011
Je veux bien accepter que le changement d'heure se cache derrière cette anomalie, mais ce qui ne me fait pas dormir, c'est qu'il n'y a aucune logique là-dessous, j'ai l'impression...
Notons que c'est le cas aussi pour l'article précédent entre 27/3 et 28/3, et que ces dates-là n'ont aucun lien apparent non plus avec celles de l'autre article.
François m'a dit lorsque je lui ai raconté ca que j'étais vraiment bizarre, mais moi je trouve plutôt cela bizarre de ne pas s’interroger face à un phénomène aussi extraordinaire.
Voilà voilà voilà, je vous laisse élucider ce mystère!

Oui c'est vrai... Le candidat aurait peut-être mieux fait de s'abstenir de poser la question car ca aurait été quand même un peu gros qu'on puisse l'utiliser :p. Ou justement, il aurait du l'utiliser sans rien dire, je vois mal comment on aurait pu lui mettre faux :D. Ca aurait encore plus embarrassé le jury... (J'aime parler de moi à la troisième personne)

Ah oui, je me disais bien :)
Comme lorsqu'un judicieux candidat a voulu utiliser le grand théorème de Fermat pour tuer le problème 4 de midi 2007. Quelle idée géniale ce garçon avait eu :D.

Parce qu'il est plus aisé de montrer que P n'est pas le produit de deux polynômes à coefficients entiers. En effet, Si P = QR, on a P(n) = Q(n)R(n) pour tout n entier entre 1 et 2000, ce qui donne Q(n)R(n) = -1, et vu que Q(n) et R(n) sont entiers, on a Q(n) = 1 ou -1 pour tout n entre 1 et 2000. Après, on peut montrer qu'ils doivent valoir tous 1 ou tous -1, sinon c'est impossible. Et lorsqu'on a que des -1, Q est soit constant, soit égal à P. Et idem pour les 1 plus ou moins.
Ceci dit, encore faut il prouver ce que Francois a dit, j'ai cherché un contre-exemple sans résultat...

Aussi, l'énoncé est pas très bien formulé ainsi, on peut répondre par :

"Oui, P est divisible par 2P qui est à coefficients entiers, différent de P et non constant."

Il a peut-être juste une culture immense qui vous échappe :)

(Joyeux 150ème commentaire à moi-même!)

Bon alors, je l'ai fait d'une façon barbare mais c'est déjà cela.

Pour un polygone à cotés de mesure (ça ne change rien de considérer cela). On construit le polygone intérieur où se trouve sur (sauf pour le mais vous avez compris).

On sait que les angles du polygone régulier sont tous égaux, et comme ceux du polygone intérieur aussi, tous les angles en question ont la même amplitude (à savoir mais peu importe).

Dès lors, tous les petits triangles qui se trouvent entre le petit polygone et le grand (, , ...) sont semblables (les angles sont les mêmes). Notons la mesure et la mesure ( est alors le rapport des deux cotés du triangle , et il est le même pour tous les triangles).

On a donc .
Puis .
Puis .
Et ainsi de suite, jusqu'à avoir





Or, on avait , donc on se retrouve avec la magnifique équation :




Si est impair, alors on a :



Or, on sait que (car positif), donc



A ce stade, soit on recalcule toutes les longueurs de segment pour voir qu'on a chaque fois la même chose. Soit on se dit qu'on avait pris le segment de longueur au hasard, et donc tous les triangles ont pour cotés et . Il est alors facile de constater que le polygone intérieur est bien régulier.

Pour ce qui est du cas pair, on arrive à



Or, , et on trouve donc


Ce qui est vrai tout le temps lorsque .
Donc en fait, on peut par exemple prendre , et de cette façon on a des petits triangles isocèles de coté une fois sur deux, et de coté l'autre fois. Et cela fonctionne bien, et le polygone intérieur a alors un coté sur deux de longueur et l'autre de longueur (je vous laisse trouver par Pythagore généralisé, ca sert quand même à rien ici). On a donc un polygone qui respecte les conditions mais qui n'est pas régulier.
D'où la réponse est bien uniquement les impairs.

Merci pour cette superbe remarque, Benoît. Quoique ne veut selon moi rien dire puisqu'il a deux racines, à savoir et . Tout comme tes racines cubiques, il y en a trois (autant que les petits points qui vont conclure ce commentaire)...

Le raisonnement m'a l'air bon, mais c'est difficile à dire joliment. Tu peux toujours faire une sorte de récurrence, mais bon amusement xD.
Sinon, comme tu as remarqué que seuls les polynômes du type x^n marchent, tu peux essayer de le prouver en considérant le polynôme P(x) - x^n, et montrer qu'il doit valoir 0.
Donc moi je ferais ca ainsi : si P(x) est un polynôme qui respecte P(x²) = P(x)², alors tu as déjà montré que le coefficient de x^n doit être 1. Dès lors, tu poses Q(x) = P(x) - x^n, et tu sais que Q est soit le polynôme nul, soit un polynôme de degré m positif (avec m < n). On va supposer qu'il n'est pas nul et qu'il est donc de degré m.

Comme P(x²) = P(x)², on a
Q(x²) + x^(2n) = (Q(x) + x^n)²
Q(x²) = Q(x)² + 2 x^n Q(x)

Là on espère avoir un problème de degré, généralement.
Q(x²) est de degré 2m, Q(x)² est de degré 2m aussi, et 2 x^n Q(x) est de degré m + n. Or, m + n > 2m, donc on a un polynôme de degré m + n (à savoir 2 x^n Q(x)) qui est égal à la différence de deux polynômes de degré strictement inférieur, ce qui est absurde. Donc le polynôme Q ne pouvait être que le polynôme nul.
Et dans ce genre d'exercice, n'oublie pas non plus de prouver que le cas P(x) = x^n fonctionne bien, ca serait bête de montrer que c'est le seul cas possible, sans préciser qu'il vérifie bien les conditions de l'énoncé (dans ce cas il n'y a rien à montrer, il suffit de le dire, mais ca évite de perdre un bête point).

Pour les symboles mathématiques, on peut utiliser le LaTeX sur ce forum. Tu peux te renseigner sur le sujet sur internet, ce n'est pas un langage très compliqué. Généralement je l'utilise car c'est plus joli mais là j'avoue avoir eu la flemme de l'utiliser.