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Re : Finale maXi 1999 Question 3
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Tu oublies les quadrilatères cycliques, les puissances de points, le théorème de Pascal et les homothéties:p
Mais, le problème 3 de la BxMO de l'année dernière contenait selon la solution trouvée:
- application de ménélaüs
- application de Pascal
- une inversion
- les puissances de points
- deux paires de triangles semblables
- un quadrilatère cyclique

(mais pas 27 orthocentres alignés:p)
Il était pourtant pas amusant (quoique, après coup il ne m'a pas semblé si méchant..)

Je pense donc que le critère "27 orthocentres alignés" est déterminant pour juger de si un problème est amusant ou pasXD

Contribution du : 02/05/2011 18:02
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Re : Finale maXi 1999 Question 3
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Pas amusant comme problème

Contribution du : 01/05/2011 19:55
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Re : Maxi2011
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Ca me parait correct.

Contribution du : 30/04/2011 09:43
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Re : Maxi2011
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Je préférais ton expression précédente. Pose par exemple a=0 ou a=1 pour simplifier tes calculs. Et n'oublie pas, comme l'a si bien dit Nicolas Franco, que p et q peuvent être multipliés par n'importe quel entier sans changer le problème.

Contribution du : 29/04/2011 21:34
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Re : Maxi2011
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En fait, comme t'as 2 équations et 3 variables (a, b et c), tu en fixer une au chois. de manière à te retrouver avec un système 2équations-2inconnues. En fait, p,q et une des trois variables deviennent des paramètres.

Contribution du : 28/04/2011 22:13
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Re : Maxi2011
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Ah, ok:)

En fait, la résolution du problème (a et b compris) se base sur le fait que (b+x)/(a+x)=(c+x)/(b+x) et que x=p/q
Après cela, à toi d'exprimer a, b et c en fonction de p et de q pour que les 2 rapports recherchés soient égaux. (a,b,c,p,q sont tous entiers)

Contribution du : 28/04/2011 21:10
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Re : Maxi2011
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Oui, tu veux la solution (je veux bien la mettre ds les commentaires de cette question) ou tu continue à chercher? (Ou alors tu l'as trouvée et tu cherches à savoir ce qu'on fait les autres;))

Contribution du : 28/04/2011 20:36
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Ben voilà ce que je cherchais comme formule miracleXD.

Contribution du : 25/04/2011 22:28
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Pour revenir au problème (déso Nicolas, t'es problèmes de changement d'heure ne m'ont pas passionnéXD):

Supposons que P=Q*R avec P et Q à coefficients entiers, et qu'il existe un coefficient de R qui ne soit pas entier (soit p/q ce coefficient où p,q sont entiers et (p,q)=1). Le terme p/q*X^k apparait donc dans R(X).

Nommons a0, a1, ..., an les coefficients entiers de P, et b0, b1,..., bm les coefficients entiers de Q (P est de degré n, et n>m>0), et c0, c1,..., c(n-m) les coefficients de R.

Soit ck = p/q (k<=(n-m))
On a donc ak = b0*ck + b1*c(k-1) +...+ bk*c0 est entier.

Or, b0*ck = b0*p/q n'est pas forcement entier. Spdg on peut supposer que b0 n'est pas divisible par q (en effet, il existe au moins un bi qui n'est pas divisible par q, sinon Q=q*S où S est à coefficients entiers, => P=S*(q*R) et q*R résout le problème en terme du ck).

ak entier implique que au moins un autre cl (l<k) s'écrit sous la forme r/q où r et q sont entiers et (r,q)=1

En réitérant, on trouve que c0=m/q
Cela implique que b0est multiple de q car a0=b0*c0

Mais ensuite, on peut continuer le raisonnement pour prouver que tous les ci s'écrivent sous la forme pi/q et que tous les bi sont multiples de q. Or on sait que ce résultat implique que P=(Q/q)*(q*R) où Q/q et q*R sont à coefficients entiers.

Ceci est tout sauf une démonstration rigoureuse, mais elle indique tout au moins une démarche, une idée de résolution.

Si qqun comprend ce que j'ai écrit, qu'il me fasse signe:p

Contribution du : 23/04/2011 22:12
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Si un polynôme P degré n>1 à coefficients entiers est divisible par un polynôme à coefficients entiers non constant et non multiple de P, j'ai envie de dire que P peut être écrit comme le produit de 2 polynômes non constants à coefficients entiers. Je suppose que c'est vrai, mais vaut peut-être mieux demander l'avis des experts.

Contribution du : 23/04/2011 16:55
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