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Re : Préparation à la demi-finale
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03/11/2010 20:56
De Ottignies
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Eh bien c'est à mon tour de demander de l'aide.
En faisant la demi-finale maxi 2008, je suis tombé sur un problème pour lequel je n'avais aucune idée de démarrage. C'est le problème 27 :

Sans réponse préformulée — Les nombres réels a, b, c sont strictement positifs et tels que :
⌈ a²-c² = ac-3a
| c²-b² = bc-3b
⌊ b²-9² = ab-bc
Le nombre b est entier. Que vaut-il ?
Réponse : 27

Résultat, j'ai tâtonné, j'ai paniqué, et après maintes tentatives aussi stupides et désespérées qu'infructueuses, un temps à peine avouable, je suis arrivé à la réponse, mais sans utiliser la condition sur b.

Est-ce que l'un d'entre vous aurait une manière de résoudre cet exercice (à peu près) intuitive, et peut-être utilisant la condition sur b, pour éviter que je prie chaque soir pour ne pas avoir d'exercice de ce type mercredi ?

Merci d'avance !

Contribution du : 16/02/2013 18:09
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Re : Préparation à la demi-finale
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Pour la factorisation de x⁴+2, il existe en fait une manière qui consiste à effectuer le produit (x²+ax+b)(x²+cx+d), soit x⁴+(a+c)x³+(b+ac+d)x²+(ad+bc)x+bd, en supposant que la factorisation est de cette forme, puis pour que deux polynômes soient égaux il faut que les coefficients soient égaux, donc :
En x⁴ : 1 = 1
En x³ : a+c = 0
En x² : b+d+ac = 0
En x : ad+bc = 0
En 1 : bd = 2
À partir de l'équation en x³, remarquer c = -a, puis grâce à l'équation en x, déduire a(d-b) = 0. En séparant les cas a = 0 (impossible) et b = d, on arrive assez vite à la factorisation.

Pour l'équation, voici les étapes sur lesquelles je suis passé un peu vite :
En multipliant par 2003²x², on obtient :
2003²x²(x+2003)(x-2003) = 1(x+2003)(x-2003)
Puis, en passant tout à gauche et en mettant (x+2003)(x-2003) en évidence, on obtient :
(x+2003)(x-2003)(2003²x²-1) = 0
Ce qui mène presque directement aux quatre solutions.
Tu noteras qu'on ne fait jamais vraiment « disparaître » le 1 : simplement, on le sous entend. Quand on dit « A », on sous-entend en fait « 1A ». C'est pour ça qu'on retrouve le « -1 » venant de gauche après avoir mis en évidence.

Et enfin, je crois que ce que Xavier essaie de faire, c'est transformer l'expression x²-x+1 manuellement pour qu'elle dépende non plus de x mais de x+1, obtenant f(x+1) = (x+1)²-3(x+1)+3. Une fois qu'on a ça, on peut déduire directement la valeur de f(x) en remplaçant tous les x+1 dans l'équation par x. (On appelle ça un changement de variable.)

Contribution du : 15/02/2013 14:11
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Re : Préparation à la demi-finale
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Pour la factorisation de , il n'y a à ma connaissance pas de moyen immédiat de trouver la solution (sauf pour les barges qui vont me parler de solution générale de équations de degré 4), donc il faut simplement développer les propositions. Par contre, on sait que tout polynôme de degré 3 ou plus est factorisable dans les réels.

La formule du nombre de diviseurs est sans doute supposée connue, car elle n'est pas évidente à trouver comme ça. On peut toutefois la déduire du fait que pour qu'un nombre soit un diviseur de , il faut que l'exposant de tout premier dans le développement de ce nombre soit compris entre et , donc on a choix pour ce premier.

Pour le problème avec la fonction, on peut simplement remarquer et obtenir la réponse en substituant x-1 à x dans l'expression.

Enfin, pour le dernier problème, ton début de raisonnement est très bon en fait. Simplement, tu fais quelques erreurs. On a :



En multipliant par et passant tout à gauche :

Ce qui donne bien les quatre solutions attendues.
Cela dit, ce que j'aurais fait dans ce cas, c'est trouver les quatre solutions par intuition, puis conclure en sachant que les équations du nième degré ont toujours au plus n solutions (ici multiplier par donnait une équation du 4ème degré).

Contribution du : 15/02/2013 00:11
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Re : Ancien Questionnaire
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À ma connaissance la SBPM ne doit pas intervenir financièrement pour les préparations ou billets d'avion pour l'OMI (sauf peut-être en solution de secours en attendant que les subsides soient débloqués, comme pour l'OMI 2010 je crois). Enfin bref, je ne nie bien entendu pas qu'il est bon que les recueils de questions d'OMB rapportent un peu d'argent à la SBPM. Après tout, c'est elle qui organise les olympiades de A à Z.

Contribution du : 14/02/2013 23:38
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Re : Ancien Questionnaire
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Le financement de la formation et de la participation des étudiants belges francophones aux OMI est plutôt censé être le rôle de la Fédération Wallonie-Bruxelles, mais chut ! Elle n'a pas l'air d'être au courant non plus…

(Note : financer trois billets aller-retour pour la Colombie en vendant des livres de maths est un beau défi… heureusement qu'on en a tous un stock !)

Contribution du : 14/02/2013 20:16
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Re : J'ai besoin de conseils !!
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Ça peut aussi vouloir dire que, dans un souci de préserver ma santé mentale, tu ne m'as pas donné les numéros… mais ça revient au même…
P.S. Il ne tient qu'à toi de créer un paradoxe temporel !

Contribution du : 14/02/2013 19:11
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Re : J'ai besoin de conseils !!
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Ah oui, il semblerait que je vive dans le passé... Tu pourrais pas me filer les numéros gagnants du Lotto ?

Contribution du : 14/02/2013 17:36
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Re : J'ai besoin de conseils !!
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Alors, aprés relecture d'un bon paquet de questions midi :

En arithmétique et algèbre :
- Produits remarquables
- Notion de diviseurs, de multiples, de PGCD, de PPCM, et plus particulièrement :
- Les diviseurs de 2012
- Équations du premier degré (mais ça devrait être acquis tout de même)
- Manipulation basique d'expressions

En géométrie :
- Pythagore (et réciproque), utilisé strictement tout le temps
- Médianes, médiatrices, bissectrices, hauteurs ; centre de gravité, centre des cercles circonscrit et inscrit, orthocentre (je ne me souviens pas avoir vu tout ça en 3ème...)
- Transformations du plan
- Formules d'aire et de volume, rapports d'aires
- Triangles isométriques / semblables
- Sommes des angles de polygones, et plus particulièrement amplitudes des angles de polygones réguliers
- Angles inscrits / au centre / tangentiels

C'est tout ce que je vois a priori, mais ça fait déjà un bon paquet...

À part ça, conseils généraux mais tout de même utiles :
- Ne pas foncer tête baissée dans la résolution d'un problème si ça a l'air moche, chercher rapidement une manière plus simple.
- Si aucune manière simple n'est disponible, et qu'on sait que la manière moche va marcher en un temps raisonnable, ne pas se gêner.
- Pour les choix multiples, recourir sans honte à l'élimination.
- Bien dormir et/ou manger du sucre avant l'épreuve.

Contribution du : 14/02/2013 14:24
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Re : J'ai besoin de conseils !!
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Les matières les plus importantes qui me viennent à l'esprit pour les MiNi, c'est :

En arithmétique et algèbre :
- Les opérations, priorités, distributivité
- Les équations (du 1er degré), et la mise en équation
- Les divisibilités

En géométrie :
- Tout ce qui permet de déterminer des angles, notamment les sommes des amplitudes des angles dans les triangles / quadrilatères
- Les formules d'aires et rapports d'aires.

Si tu ne sais pas à quoi correspondent certains de ces domaines, n'hésite pas à demander ici ou à ton prof de maths si tu le vois d'ici la demi-finale.

Si quelqu'un pense à d'autres choses qu'il faudrait ajouter à la liste, n'hésitez pas !

Contribution du : 12/02/2013 16:31
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Re : Seuils de Q. 2012
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Aurais-je fait des émules en matière de frime et phrases supposément philosophiques ?
En tout cas félicitations pour ta qualification.

La prochaine fois, veille tout de même à tenir ton chat à l'écart de la touche retour à la ligne…

Contribution du : 24/01/2013 18:55
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