C'est la seconde option : le nombre total d'intersections entre les cercles.

La configuration optimale est de prendre 4 points , , les sommets d'un triangle équilatéral, et son centre. Les quatre cercles seront les cercles circonscrits aux triangles , , et . Les intersections seront , , et , au nombre de . Je te laisse te convaincre qu'on ne peut pas s'en sortir avec moins d'intersections.

Q26 : Une astuce classique pour les éliminatoires et les demi-finales : les formules de Viète (aussi connue comme "Formule de sommes et produits") Si sont les trois racines de

alors on a , et (en développant puis identifiant les coefficients de chaque degré). Du coup, on peut facilement calculer





Q28 : Tout d'abord, muni toi d'un dessin à côté de toi.

Le plan c'est de calculer . On a puis, étant le milieu de , on a .

Les triangles et sont similaires, de rapport . On a donc . Puis



En mettant tout cela ensemble,





Q30 : De nouveau, on utilise les formules de Viète :



on développe tout et on obtient quatre formules.

- La somme des quatre racines est "moins le coefficient de degré ", donc . Ainsi, les racines sont centrées autour de ; en notant la raison, les racines sont .

- Le coefficient de degré est



soit ou encore .

- Finalement, le coefficient de degré est .

Ah oui, effectivement. Donc on a comme âges



où est le nombre d’enfants. Un des est divisible par donc . Or divise donc .

Voici une solution pour la question 25 : notons les âges des trois enfants , et (dans l’ordre croissant). La condition se réécrit donc



Ça semble trop peu d’information jusqu’au moment où l’on se rappelle que l’age d’une personne est généralement entier. On est donc poussé à factoriser en facteurs premiers. Quelques applications du critère de divisibilité par et on obtient



soit



ne peut pas diviser (puisque cela impliquerait que divise ). On a et pour un . Le seul cas vérifiant est



Finalement, la somme est comme attendu.

Tu pourrais tester avec mais tu verrais que



Et ainsi .

Une des version du théorème des valeurs intermédiaires est
Soit , une fonction continues sur telle que et sont de signes différents s'annule / a une racine sur .
En général, on voit ce théorème en 5e sans preuve.

Esquisser le graphe de et permet de trouver les endroit où devrait changer de signe
- tend vers quand tend vers
- est supérieur à n'importe quel polynôme quand tend vers
- est une 'parabole' très accentuée.

Pour prouver qu'il n'existe pas une infinité de solution, j'ai deux arguments :
- Le bon sens

- Remarquons que est infiniment dérivable.
Notons , sa 2013e dérivée.

Supposons que aies une infinité de racines.
Soit , une suite infinie croissante de racines.

Par le Théorème de Rolle, possède une infinité de racines .
En répétant l'argument, on a que possède une infinité de racines or ne s'annule jamais, contradiction ...

(Pour te 'convaincre' de ce résultat, essaye de tracer le graphe d'une fonction dérivable s'annulant en deux réels sans que sa dérivée ne s'annule )

D12X26 : On utilise le théorème des valeurs intermédiaires sur la fonction
Pour , on a .
Pour , .
Pour , .
Pour , .

On a donc (au moins) une solution dans , une autre dans et enfin .

D12X28 : Il y en a une infinité : en chipotant un peu avec et , tu en trouvera déjà bien assez ...

D13X25 : Les solutions de sont



Afin qu'elles soient entières, on a besoin que



Soit un carré parfait. On a donc



Puisque sont des entiers naturels, on a



Avec .
D'où seulement certains restant à tester ...

D13X22 : Soit , on a



Or , n'est donc pas premier.

Oui, tu as bien compris : il faut être classé en 3/4e (ou, avec de très bons résultats et à ta demande, en 5e).

Non, il y a 15-20 participants aux stages. Seul 3 sont selectionnés pour les IMO sur la base de 2 tests (+OMB+BxMO).

Les stages constituent 7-8 WE par an à Wépion.

Afin de participer au test AIME, il faut faire un bon résultat en demi-finale de 4/5/6e. La sélection se fait sur des base de perfomance et non de classement. En montrant que tu est bien préparé et en contactant un organisteur, tu pourrais peut-être y participer dès la 3e. La matière est assez avancée : pour en avoir une idée, les tests sont ici (en anglais).

Tout comme pour les IMO, la sélection aux BxMO (olympiades du Benelux (+France)) se fait sur base d'un test entre 'wépionnites'. Il y a 5 participants francophones.

Oui, tu peux participer aux OFM, les sélections françaises aux IMO.
Le lien : site Animath.
Il existe également de nombreuses olympiades dans le monde entier. Elles constituent souvent de bons entrainements aux BxMO, test de selections, IMO, ... Tu peux en trouver de nombreuses sur AoPS.
Ce site propose également quelques olympiades en ligne.
Si tu est également intéressé par d'autres domaines, sache qu'il existe des olympiades de physique/chimie/bio(dès la 4e), d'informatique,... en belgique.

Attention, une bonne partie de ces concours nécessite de la matière plus avancée que celle vue à l'école (surtout si tu commence ta 3e). Pour commencer, une bonne solution (déjà presentée sur ce site) reste Mathraining.

De rien

Boujour,

Afin d'être sélectionné, il faut le plus souvent être classé (c-à-d dans les 15 premiers) ou, être dans les meilleures filles.
La seul autre condition est de ne pas être luxembourgeois (dans ce cas, tu sera sûrement contacté par Mr Leytem).

Ainsi, si tu respecte ces deux conditions tu devrais/aurait dû être contacter par Mr Troessaert. (Selon mon échantillon personnel, vers mi/fin août.)
Si tu dois contacter quelqu'un, ce sera lui.

Pour te rassurer, sache que le premier stage tombe exceptionnellement tard cette année : le WE du 3-4 octobre.

Les participants à la demi-finale en 4e, 5e et 6e peuvent espérer se qualifier pour le test AIME.
Le seuil est fixé de manière à ce qu'aucun participant ne reste 3 h à ne rien résoudre. (Et qu'il ne soit pas tout simplement dégouté)
En général, 100 points sont suffisants.

Pour ce qui est de l'entrainement, certains livrets des proclamations contenaient l'examen en français.
Sinon, tous les questionnaires se trouvent ici en anglais.