Pour la question 23, je préconise énumérer les pavages possibles (un peu systématiquement); c'est assez difficile à écrire sur le forum.

Pour la question 27: les triangles , , et sont isocèles: on en déduit que , , Donc , et donc .

Pour la question 29: on remarque que

.

Comme est dans le premier quadrant, est positif, et donc .

Je l'utilise pour obtenir le résultat suivant: S'il existe une factorisation d'un polynôme à coefficients entiers dans , alors il en existe une dans .

Mea culpa, je n'avais pas vraiment lu ton premier post. Et il faut dire qu'utiliser le lemme de Gauss semble un peu technique.

En voici une autre approche. On montre que, si et que , alors (en considérant, je pense, le terme de degré maximal tel que le coefficient de du terme de ce degré est irrationnel, comme le coefficient du terme dominant ne peut être irrationnel). Le lemme de Gauss implique alors qu'on peut écrire , où .

Alors , donc , pour .
Par ailleurs, et sinon la factorisation est triviale.

Sans perte de généralité, . Dès lors . Mais alors et donc . Par voie de conséquence, avec égalité si et seulement si .

Donc est un polynôme de degré 1000 tel que pour exactement mille entiers avec .
Donc .
Pour les autres entiers avec , . Or, pour , , une contradiction.

Bon, j'ai maintenant une solution purement synthétique, sans trigonométrie. Traçons la parallèle à passant par , qui coupe en . Posons . Donc et .

Or , d'où . Comme , il suit que . En particulier, le triangle est isocèle avec . Comme est isocèle, . Donc



d'où .

Philippe, on peut aussi utiliser directement le théorème de la bissectrice extérieure. Je vais réfléchir à la question si on a besoin d'une quelconque version du théorème de la bissectrice.

Une remarque générale pour des question du genre "trouver le maximum de chose sous la condition machin" s'impose: une fonction n'atteint pas nécessairement sa valeur maximale lorsque sa dérivée s'annulle. Exemple banal: sur .

Remarque toute à fait superflue: On peut, je pense, utiliser ce qu'on appelle des multiplicateurs de Lagrange pour résoudre ce problème (et aussi des problèmes bien plus généraux). Ayant parcouru l'article en question très rapidement, je crois que l'article dans la wikipédia française n'est pas mauvais.

Pour revenir à nos moutons, le problème demande la distance minimale de l'origine à la droite d'équation dans le plan cartésien muni d'un repère orthonormé. Il s'agit juste de la distance orthogonale de l'origine à la droite en question, qui vaut donc (par une jolie formule apprise, je pense, en classe de 5eme)

ce qui est bien la réponse .

L'autre solution est , mais le raisonnement présenté n'est pas bon. Par example, ... Un raisonnement correct s'appuie sur les congruences modulo 4: si , alors et dont . Or, pour , est divisible par quatre, et donc , alors que . Donc ou . Le premier cas ne conduit pas à une solution. Le deuxième cas donne les deux solutions et .

En effet, mes informations sont plus vieilles. Le train à une heure trente serait en effet possible pour moi...

J'ai cru comprendre que nous (les luxembourgeois) y irons en autocar, comme Marc et moi ont encore des devoirs en classe le vendredi (en tout cas, pour moi ce sera impossible d'arriver à la gare de Luxembourg pour attraper le train qu'on devrait prendre).