Je me permets de proposer une autre solution.

On va en fait prouver l'inégalité
(a+b+c+d)/4 >= ( (abc+abd+acd+bcd)/4 )^(1/3)
et l'inégalité demandée en découlera (cf. fin de la preuve de Damien).

On va utiliser le fait que l'inégalité est homogène. En effet, les deux membres sont homogènes de degré 1 : lorsqu'on remplace (a,b,c,d) par (ka,kb,kc,kd) on multiplie les deux membres par k, et l'inégalité est inchangée.

Pour les inégalités homogènes, une technique un peu calculatoire mais souvent très efficace consiste à utiliser l'inégalité de Muirhead (voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Muirhead dont j'utiliserai la notation).

L'inégalité est équivalent à
(a+b+c+d)^3 >= 16 (abc+abd+acd+bcd)

Le terme abc+abd+acd+bcd est égal à 4[1,1,1,0].
Le terme (a+b+c+d)^3, après expansion, peut s'écrire
4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0].

L'inégalité devient alors
4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0] >= 64[1,1,1,0]
qui est équivalente à
4[3,0,0,0]+36[2,1,0,0] >= 40[1,1,1,0]
qui est vraie puisque [3,0,0,0]>=[1,1,1,0] et [2,1,0,0]>=[1,1,1,0]
(par majorisation).

Un challenge pour terminer : l'inégalité
(a+b+c+d)/4 >= ( (abc+abd+acd+bcd)/4 )^(1/3)
est aussi équivalente à
( (a+b+c+d)/4 )^3 >= (abc+abd+acd+bcd)/4
ou encore
( (a+b+c+d)/4 )^3 >= abcd (1/a+1/b+1/c+1/d)/4
et donc
( (a+b+c+d)/4 )^3 4/(1/a+1/b+1/c+1/d) >= abcd
En posant MA la moyenne arithmétique, MG la moyenne géométrique et MH la moyenne harmonique on réécrit
MA^3 MH >= MG^4
Question : cette inégalité est-elle aussi vraie pour un nombre quelconque de variables ? Et sinon, comment la généraliser ?