Bonjour,

voici l'énoncé d'un exercice que je ne parviens pas à résoudre, quelqu'un peut-il m'aider

On considère les triangles rectangles non isométriques deux à deux dont les côtés ont pour longueurs des nombres entiers et dont l'aire est égale en valeur au périmètre. Quelle est la somme des aires de ces triangles ?

Merci

Salut,

Le problème revient à trouver 2 triplets de Pythagore (triplets d'entiers (x;y;z) respectant l'équation ) différents (triangles rectangles non isométriques) qui respectent l'équation .

Les premiers triplets de Pythagore sont :
(3;4;5), (6;8;10), (5;12;13), ...

On remarque que :
et

(6;8;10) et (5;12;13) respectent l'équation, la somme des aire est donc de 54.
Évidemment, c'est un peu difficile sans connaitre les premiers triplets de Pythagore.

PS:Je n'ai pas la preuve que ces triplets sont les seuls à vérifier l'équation, donc à priori d'autres solutions sont possible .

Il est possible de montrer rigoureusement qu'il n'existe pas d'autres triplets vérifiant ces équations.

Supposons en effet avoir tel que et .

On peut par exemple calculer de deux manières différentes. On a , mais aussi




De ces deux égalités, on déduit que










On a donc forcément . En remplaçant dans , on trouve









On peut écrire comme ou , ce qui donne les deux possibilités et , avec les valant chaque fois , donc et .

Merci beaucoup pour les explications ( qui sont très claires !!!)