Bonjour,

je m'entraine pour le demi-finale mais j'ai un souci avec la question 29.


Un triangle a un côté de longueur 10 et la hauteur correspondante mesure 8. Si les longueurs des deux autres côtés ont pour somme 20, quelles sont-elles ?
A : 8 et 12
B : 10+-racine carrée de 33 sur 3
C : 10+-racine carrée de 66 sur 3
D : 9 et 11
E : Une autre réponse


La bonne réponse est la B.

Je réalise un dessin. J'ai un coté de 10, un hauteur de 8, un coté x et l'autre y. La distance entre Z est la distance entre le somment et le pied de la hauteur sur le côté de 10.

j'ai donc x + y = 20 donc (x+y)² = x² + y² +2 xy = 400 (1)

Par Pythagore:

x² = 8² + z² (2)

y² = (10-z)² +8² (3)

En remplaçant (2) et (3) dans (1)

8² + z² + (10-z)² + 8² + 2 . racine carré (8²+(10-z)²) . racine carrée (8²+z²) = 400

après avoir développer, regrouper les racines d'un coté et élever au carré les 2 membres:

164.64 + 228z² +z^4 - 1280z - 20z³ = 86. 86 - 86z² + 860z - 86z² +z^4 -10z³ + 860 z - 10z³ + 100z²

A près simplification et regroupement

300z² - 3000z + 3100 = 0
3z² - 30z + 31 = 0

je calcule delta: 528 = 4 racine carré de 33.

Mais après je suis bloqué... Pourtant je dois pas être loin de la bonne réponse vu que j'ai déjà le racine carrée de 33...




Quelqu'un pour m'aider et trouver la solution finale? Merci

Y a plus facile comme méthode...

Il faut utiliser la formule de Héron

Soit a = 10 la base et h la hauteur correspondante.
b et c les 2 autres côtés. On a :
2p = 10 + b + c
b+c = 20

Surface du triangle :
S = a.h/2 = 10.8/2 = 40

Formule de Héron :
S = [p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2
S = [15(15-10)(15-b)(15-(20-b))]^1/2
40 = [15.5(15-b)(-5+b)]^1/2

ce qui donne en développant

3b^2 - 60 b + 289 = 0

b ~ 8.085
c ~ 11,915
(0u l'inverse)

En espérant que cela t'aide