| Re : Problème 30 |
| par PetitCloporte sur 22-12-2024 11:28:30 Fi donc des formules et des repères cartésiens! Posons $\mathcal{A}(ABC)=S=24$, $\mathcal{A}(PQR)=X$, $\mathcal{A}(BPQ)=S_1$, $\mathcal{A}(QCR)=S_2$ et $\mathcal{A}(RAQ)=S_3$. Il suffit de se rappeler que si la base d'un triangle est multipliée par $k$ et sa hauteur par $\ell$ ($k$ et $\ell$ positifs), son aire est multipliée par $k\cdot\ell$. De là: $S_1=\left(\frac12\cdot\frac13\right)S$, $S_2=\left(\frac23\cdot\frac14\right)S$, $S_3=\left(\frac12\cdot\frac34\right) S$. Et donc $X=S-\left(S_1+S_2+S_3\right)=24\left(1-\frac16-\frac16-\frac38\right)=7$. |
| Re : Problème 30 |
| par Nicolas Franco sur 21-12-2024 20:37:15 Bonjour, vous pouvez utiliser latex sur ce site, mais en utilisant les balises
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N'hésitez pas à utiliser le bouton Aperçu pour savoir ce que cela donne. |
| Re : Problème 30 |
| par Anonyme sur 21-12-2024 16:25:16 Voilà la réponse dans le language LATEX (en clair) : {Données du problème} - L'aire du triangle $ ABC $ est $ 24 $. - $ AP = \frac{1}{2} AB $, $ BQ = \frac{1}{3} BC $, $ CR = \frac{1}{4} CA $. On cherche l'aire du triangle $ PQR $. {Étape 1 : Position des points $ P $, $ Q $, et $ R $} Plaçons les sommets dans un repère cartésien : - $ A(0, 0) $, $ B(b, 0) $, $ C(0, c) $. Les points $ P $, $ Q $, et $ R $ sont donnés par les proportions respectives : \item $ P $ est au milieu de $ A $ et $ B $ : \[ P = \left( \frac{b}{2}, 0 \right). \] \item $ Q $ divise $ BC $ en $ \frac{1}{3} $ et $ \frac{2}{3} $ : \[ Q = \left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right). \] \item $ R $ divise $ CA $ en $ \frac{1}{4} $ et $ \frac{3}{4} $ : \[ R = \left( 0, \frac{3c}{4} \right). \] {Étape 2 : Formule de l’aire du triangle} L'aire d'un triangle de sommets $ P(x_1, y_1) $, $ Q(x_2, y_2) $, $ R(x_3, y_3) $ est donnée par la formule : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|. \] Substituons les coordonnées de $ P\left( \frac{b}{2}, 0 \right) $, $ Q\left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right) $, et $ R\left( 0, \frac{3c}{4} \right) $ : \[ \text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) + \frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) + 0 \cdot \left( 0 - \frac{c}{3} \right) \right|. \] {Étape 3 : Simplification des calculs} 1. Calcul du premier terme : \[ \frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) = \frac{b}{2} \cdot \left( -\frac{5c}{12} \right) = -\frac{5bc}{24}. \] 2. Calcul du deuxième terme : \[ \frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) = \frac{2b}{3} \cdot \frac{3c}{4} = \frac{6bc}{12} = \frac{bc}{2}. \] Somme des deux termes : \[ -\frac{5bc}{24} + \frac{bc}{2} = -\frac{5bc}{24} + \frac{12bc}{24} = \frac{7bc}{24}. \] Enfin, l'aire du triangle est donnée par : \[ \text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7bc}{24} = \frac{7bc}{48}. \] {Étape 4 : Utilisation de l’aire de $ ABC $} On sait que l'aire du triangle $ ABC $ est donnée par : \[ \text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = 24. \] Donc : \[ b \cdot c = 48. \] Substituons cette valeur dans l'expression de $ \text{Aire}_{PQR} $ : \[ \text{Aire}_{PQR} = \frac{7 \cdot 48}{48} = 7. \] {Résultat final} L'aire du triangle $ PQR $ est : \[ \boxed{7}. \] |
| Re : Problème 30 |
| par HypoténuZ sur 21-12-2024 12:05:27 Pour ce type de problème il faut utiliser les vecteurs |
| Re : Problème 30 |
| par HypoténuZ sur 21-12-2024 12:04:41 Bonjour voici la réponse du problème (vu le format du texte il faut le copier et le coller dans ChatGPT ou une autre IA afin d'arranger le texte) : Étape 1 : Position des points PPP, QQQ, et RRR On place les sommets A(0,0)A(0, 0)A(0,0), B(b,0)B(b, 0)B(b,0), C(0,c)C(0, c)C(0,c). • PPP est au milieu de AAA et BBB : P=(b2,0)P = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)P=(2b,0). • QQQ divise BCBCBC en 13\frac{1}{3}31 et 23\frac{2}{3}32 : Q=(2b3,c3)Q = \left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right)Q=(32b,3c). • RRR divise CACACA en 14\frac{1}{4}41 et 34\frac{3}{4}43 : R=(0,3c4)R = \left( 0, \frac{3c}{4} \right)R=(0,43c). Étape 2 : Formule de l’aire du triangle L'aire d'un triangle dont les sommets sont P(x1,y1)P(x_1, y_1)P(x1,y1), Q(x2,y2)Q(x_2, y_2)Q(x2,y2), et R(x3,y3)R(x_3, y_3)R(x3,y3) est donnée par : Aire=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣.\text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|.Aire=21∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣. Substituons : • P(b2,0)P\left( \frac{b}{2}, 0 \right)P(2b,0), • Q(2b3,c3)Q\left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right)Q(32b,3c), • R(0,3c4)R\left( 0, \frac{3c}{4} \right)R(0,43c). AirePQR=12∣b2(c3−3c4)+2b3(3c4−0)+0⋅(0−c3)∣.\text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) + \frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) + 0 \cdot \left( 0 - \frac{c}{3} \right) \right|.AirePQR=212b(3c−43c)+32b(43c−0)+0⋅(0−3c). Étape 3 : Simplification des calculs 1. b2(c3−3c4)=b2⋅(−5c12)=−5bc24.\frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) = \frac{b}{2} \cdot \left( -\frac{5c}{12} \right) = -\frac{5bc}{24}.2b(3c−43c)=2b⋅(−125c)=−245bc. 2. 2b3(3c4−0)=2b3⋅3c4=6bc12=bc2.\frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) = \frac{2b}{3} \cdot \frac{3c}{4} = \frac{6bc}{12} = \frac{bc}{2}.32b(43c−0)=32b⋅43c=126bc=2bc. Somme : −5bc24+bc2=−5bc24+12bc24=7bc24.-\frac{5bc}{24} + \frac{bc}{2} = -\frac{5bc}{24} + \frac{12bc}{24} = \frac{7bc}{24}.−245bc+2bc=−245bc+2412bc=247bc. Aire : AirePQR=12⋅7bc24=7bc48.\text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7bc}{24} = \frac{7bc}{48}.AirePQR=21⋅247bc=487bc. Étape 4 : Utilisation de l’aire de ABCABCABC On sait que : AireABC=12⋅b⋅c=24.\text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = 24.AireABC=21⋅b⋅c=24. Donc : b⋅c=48.b \cdot c = 48.b⋅c=48. Substituons dans AirePQR\text{Aire}_{PQR}AirePQR : AirePQR=7⋅4848=7.\text{Aire}_{PQR} = \frac{7 \cdot 48}{48} = 7.AirePQR=487⋅48=7. Résultat final : L'aire du triangle PQRPQRPQR est 7. |