(a) Oui, par exemple:  .
(b) Oui, par exemple 605.
Remarque: un nombre est divisible par 11 ssi la différence (notée  dans la suite) entre la somme des chiffres de rang pair et celle des chiffres de rang impair est un multiple entier de 11. Ici : -0=11) , donc 605 est divisible par 11.
(c) Non, car la différence définie ci-dessus ne peut valoir que  ou  ou  ou  , lorsque la somme des chiffres vaut 3.
(d) On montre aisément que pour tout  pair, il existe un multiple de 11 dont la somme des chiffres est égale à . En effet, le nombre constitué de chiffres 1 sera divisible par 11, puisque  .
Pour tout  , impair, il existe  tels que  et  . Il suffit donc de placer les  unités sous forme de chiffres de rang pair et les  unités aux rangs impairs. Alors  .
Il reste à considérer les nombres  . Par un raisonnement analogue au point (c), on montre qu'il n'existe de tel multiple de 11 :  car est impair (toute somme impaire de deux termes est composée d'un nombre impair et d'un nombre pair dont la différence sera également impaire), et n'est pas un multiple non nul de 11 car la somme de tous les chiffres est égale à  .
Conclusion : Les nombres cherchés sont tous les naturels pairs (y compris 0) et tous les naturels  . |
