OMB - OMB 2004 Finale MAXI Question 1 - Solution de Philippe Schram

OMB 2004 Finale MAXI Question 1 - Solution de Philippe Schram

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Question :

(a) Existe-t-il un polynôme $p$ à coefficients entiers tel que $p(2)=0$ et $p(0)=4$ ?

(b) Existe-t-il un polynôme $p$ à coefficients entiers tel que $p(1)=7$ et $p(8)=9$ ?

(c) Pour quelles valeurs de l'entier $n$ existe-t-il un polynôme $p$ à coefficients entiers tel que $p(1)=7$ et $p(8)=n$ ?

Solution de Philippe Schram :

a) Oui, par exemple $P(x)=-x^2+4$

b) On a :

$P(8)-P(1)=9-7$
$\Leftrightarrow a_n\cdot 8^n+...+a_0-a_n\cdot 1^n-...-a_0=2$
$\Leftrightarrow (8-1)\cdot k=2$ (car $a^n-b^n=(a-b)\cdot l$ où $l$ se compose de termes en $a^i\cdot b^j$ )
$\Leftrightarrow 7\cdot k=2$ Or, $k$ étant entier (car les termes du polynôme le sont), ceci est impossible.

La réponse est donc non!

c) Avec le même argument que précédemment, on trouve que $n-7$ et donc $n$ doivent être divisibles par 7. Montrons que cette condition nécessaire est suffisante.

Le polynôme défini par $P(x)=7+(\frac{n}{7}-1)\cdot (x-1)$ vérifie $P(1)=7$ et $P(8)=n$ et ses termes sont entiers ssi $n$ est divisible par 7, ce qui représente la condition nécessaire et suffisante.

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