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OMB 2004 Finale MAXI Question 1 - Solution de Philippe Schram Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2004 Finale MAXI Question 1 - Solution de Philippe Schram
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Question :

(a) Existe-t-il un polynôme à coefficients entiers tel que et ?

(b) Existe-t-il un polynôme à coefficients entiers tel que et ?

(c) Pour quelles valeurs de l'entier existe-t-il un polynôme à coefficients entiers tel que et ?



Solution de Philippe Schram :


a) Oui, par exemple


b) On a :



(car se compose de termes en )
Or, étant entier (car les termes du polynôme le sont), ceci est impossible.

La réponse est donc non!


c) Avec le même argument que précédemment, on trouve que et donc doivent être divisibles par 7. Montrons que cette condition nécessaire est suffisante.

Le polynôme défini par vérifie et et ses termes sont entiers ssi est divisible par 7, ce qui représente la condition nécessaire et suffisante.



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