FINALE MAXI 2008 - Question 2

Attacher un fichier:

---

  MAXI_Q2.jpg (32.17 KB)

En posant dans la première inéquation donnée, nous trouvons que . En posant dans la deuxième inéquation donnée, il vient que ou . Par voie de conséquence, . Ensuite, d'une part, la première inéquation nous assure que . D'autre part, en posant dans la deuxième inéquation, nous trouvons que . D'où nous tirons que ou et est impaire. Soit alors . Par hypothèse, . Vu les propriétés des symétries centrales, étant impaire, nous en déduisons que . Or, par hypothèse, nous avons . Par voie de conséquence, est l'application identique sur , et, vu le fait que la fonction est impaire, sur . Inversement, on vérifie que la fonction vérifie bien la double inéquation fonctionnelle donnée.