OMB - FINALE MAXI 2008 - Question 2 [Forum - Forum Finale]

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FINALE MAXI 2008 - Question 2 [Forum - Forum Finale]

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FINALE MAXI 2008 - Question 2

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Nicolas Franco	FINALE MAXI 2008 - Question 2	#1
Webmestre Inscrit: 23/08/2007 16:58 Groupe : Webmestres Utilisateurs enregistrés Jury OMB Professeurs OMI Post(s): 755	FINALE MAXI 2008 - Question 2 Attacher un fichier: MAXI_Q2.jpg (32.17 KB) Contribution du : 30/04/2008 19:42

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Lepuslapis	Re : FINALE MAXI 2008 - Question 2	#2
Lepuslapis	En posant $x=0$ dans la première inéquation donnée, nous trouvons que $f(0)\leq 0$ . En posant $x=y=0$ dans la deuxième inéquation donnée, il vient que $f(0)\leq 2f(0)$ ou $f(0)\geq 0$ . Par voie de conséquence, $f(0)=0$ . Ensuite, d'une part, la première inéquation nous assure que $f(x)+f(-x)\leq x+(-x)=0$ . D'autre part, en posant $y=-x$ dans la deuxième inéquation, nous trouvons que $0=f(0)=f\big(x+(-x)\big)\leq f(x)+f(-x)$ . D'où nous tirons que $f(x)+f(-x)=0$ ou $f(-x)=-f(x)$ et $f$ est impaire. Soit alors $x\in\mathbb{R}_+$ . Par hypothèse, $f(x)\leq x$ . Vu les propriétés des symétries centrales, $f$ étant impaire, nous en déduisons que $f(-x)\geq -x$ . Or, par hypothèse, nous avons $f(-x)\leq -x$ . Par voie de conséquence, $f$ est l'application identique sur $\mathbb{R}_-$ , et, vu le fait que la fonction est impaire, sur $\mathbb{R}$ . Inversement, on vérifie que la fonction $f(x)=x$ vérifie bien la double inéquation fonctionnelle donnée. Contribution du : 30/04/2008 21:36
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